集合と論理

数学の基本である集合と論理について解説します。集合とはものの集まりのことです。ものの集まりは、数字だけでなく学校の生徒のような一般的なことに応用できます。この一般性の高い集合の概念を解説します。また、数学で重要な基本的な論理(ならば、必要条件など)も解説していきます。

集合

自然数、整数、実数のように数のまとまりを考えることがよくあります。 この数のまとまりを記述できるようになると、問題を数式で簡単に表現できるようになります。 そこで、ここではものの集まりである集合という概念についておはなしします。

部分集合

前回、集合と集合の記述方法についておはなししました。 今回はある集合のなかの集合である部分集合について解説します。 そして、集合が等しいことの定義についても解説します。

共通部分と和集合

2つの集合でよく使う概念の一つで、共通部分と和集合というものがあります。 それほど、難しくない概念ですが、しっかり定義を理解しておくのは大切です。 ここでは、共通部分と和集合の定義について解説します。

補集合

自然数や実数のように大きな集合を決めてから、大きな集合の要素や部分集合を考えることがよくあります。 すると、部分集合以外の集合である補集合という概念がうまれます。 ここでは、補集合について解説し、補集合における公式をいくつか紹介します。

ド・モルガンの法則

補集合、共通部分、和集合にはド・モルガンの法則という関係が存在します。 ここではド・モルガンの法則についての解説と証明を行います。

直積

これまで、実数とか自然数のようなある一つの集合を考えてきました。 しかし、座標のように複数の集合を組み合わせた集合も存在します。 ここでは、2つの集合を掛けあわせた直積という集合について解説します。

写像

集合と集合の関係を表すときに写像という概念を使います。 写像の例としては関数があげられます。 ここでは写像の解説と定義を紹介します。

全射と単射

写像にはいくつか特殊な写像があります。 それが全射と単射と呼ばれる写像です。 ここでは、これらの写像の定義と解説を行います。

命題と条件

数学では、命題を立てて証明していくことで論理を構築していきます。 ここでは、命題の定義や必要十分条件など命題に関する用語を解説していきます。

「すべて」と「ある」

数学では「すべて」や「ある」という論理をよく使います。 ここではこれらの用語について解説します。