微積分

実数の定義その1

 微積分の基本となる実数の定義から始めます。なぜ実数の定義から始めるかというと、実数の連続性が微分において重要な役割を担うからです。また、注意ですが、高校までの内容と大学の内容では大きく異なります。高校では問題を解ければ問題ありませんでした。しかし、大学の数学では数学の体系を論理立てて構成することに重きをおきます。とても抽象的なので定義をしっかり理解し、定理を証明していくことが大事になります。はじめは慣れないかと思いますが、ある程度慣れていけば論理が自然に身につきます。ここで身についた論理は研究や開発で役立つ武器となるでしょう。

実数の定義その2

前に実数は「体」であるという性質があることを述べました。 今回は実数の順序に関する性質を紹介します。

絶対値

絶対値についての定義を紹介します。 いきなり紹介したいのですが、はじめに準備のため最大元と最小元について説明します。絶対値についての定義を紹介します。 いきなり紹介したいのですが、はじめに準備のため最大元と最小元について説明します。

数の概念

 ここまでの講義で実数や絶対値の定義について学びました。ここでは自然数や整数といった数や十進数や数直線について復習します。そして、n次元という数の組の概念について解説します。

数の連続性

実数と有理数の違いについて考えます。

上限・下限と実数の連続性

前回、切断について解説しました。切断とは、数を上の組と下の組にわける操作のことをいいました。例えば、実数を1より大きい組と小さい組に分けることを切断といいます。そして、実数の場合、上の組と下の組の境界が必ず実数となることを学びました。この上の組の最小値と下の組の最大値が境界を決める上で重要となるので、ここでは、上限(じょうげん)と下限(かげん)について解説します。

イプシロン・エヌ(ε-N)論法

数列の収束について解説しています。 数列の収束を厳密に定義するさいには、「イプシロン・エヌ論法」が必要となります。 なんか難しそうな名前ですが、心がわかれば理解できます。 イプシロン・エヌ論法をみにつけたい方はぜひこの記事をよんでみてください。

数列の極限の公式1

前回、数列の極限について定義しました。ここでは、この定義を用いていくらか定理を導きます。

数列の極限の公式2

数列の極限に関する公式を導きます。まず、数列の極限の定義 「任意のに対して、ある自然数がなら、となるように取れ […]

数列の極限の公式3

数列の極限の定義を述べます。