気体の速度分布

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気体は温度が高くなると激しく動き回ります。

では、具体的に気体分子の速度はどのようになっているでしょうか？

もちろん、すべてがある一定の速度で進んでいるわけではなく、ある速度分布に従っているはずです。

ここでは、気体の速度分布を計算します。

気体分子のエネルギ

まず、質量 $m$ で速度 $\mathbf{v}$ で動く質点のエネルギを計算します。

といってもこの粒子のエネルギーは

$\displaystyle E=\frac{m}{2}(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})$

と簡単に求めることができます。

ボルツマン分布

エネルギーはなるべく低い状態が安定です。

ですから、エネルギ $E$ もなるべく低いエネルギを取ろうとします。

では、このエネルギの分布はどうなっているでしょうか？

詳しいことは統計力学の教科書に任せますが、答えをいうとボルツマン分布

$\displaystyle\exp\left(-\frac{E}{kT}\right)$

にほぼ従っています。ここで、 $k,T$ はそれぞれボルツマン定数と絶対温度です。

ボルツマン分布をみると、

エネルギが高い状態になる確率は指数関数的に減少する
温度が高いとエネルギが高い状態もなりやすい

ということがわかります。

マクスウェル分布

ボルツマンを使えば速度分布も簡単にわかります。

$dp(v_{x})$ を速度 $v_{x}$ から $v_{x}+dv_{x}$ の間のｘ方向速度をとる確率とすれば、ボルツマン分布より

$\displaystyle dp(v_{x})=C\exp\left(-\frac{mv_{x}^{2}}{2kT}\right)$

となります。ここで $C$ は規格化定数です。

規格化定数は全空間で $dn(v_{x})$ を積分したら1になることを利用すれば

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}dp(v_{x})=C\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{mv_{x}^{2}}{2kT}\right)dv_{x}=1$

となり、

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{mv_{x}^{2}}{2kT}\right)=\sqrt{\frac{2kT}{m}}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{x^{2}}{2}\right)dx=\sqrt{\frac{2\pi kT}{m}}$

より、

$\displaystyle C=\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}$

が得られます。

以上より、

$\displaystyle dp(v_{x})=\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_{x}^{2}}{2kT}\right)dv_{x}$

が得られます。

もしも、単位体積あたりの気体分子数が $n$ なら、単位体積当たりに速度 $v_{x}$ から $v_{x}+dv_{x}$ に当てはまる分子数 $dn(v_{x})$ は

$\displaystyle dn(v_{x})=n\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_{x}^{2}}{2kT}\right)dv_{x}=f_{x}(v_{x})dv_{x}$

となります。y,z方向も同様にして

$\displaystyle dn(v_{y})=n\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_{x}^{2}}{2kT}\right)dv_{y}$ ,

$\displaystyle dn(v_{z})=n\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_{x}^{2}}{2kT}\right)dv_{z}$

となります。

これらを合わせて考えれば、単位体積当たりに速度 $(v_{x},v_{y},v_{z})$ から $(v_{x}+dv_{x},v_{y}+dv_{y},v_{z}+dv_{z})$ に当てはまる分子数 $dn(v_{x},v_{y},v_{z})$ は

$\displaystyle dn(v_{x},v_{y},v_{z})=n\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}\exp\left(-\frac{mv^{2}}{2kT}\right)dv_{x}dv_{y}dv_{z}$

となります。この分布はマクスウェル分布と呼ばれています。

速さの分布

単位体積あたりに速さ $v$ から $v+dv$ の間に当てはまる分子数を計算します。

そのために、 $dv$ を $dv_{x},dv_{y},dv_{z}$ で表します。

速度空間上で $v$ から $v+dv$ の間の体積は

$dv_{x}dv_{y}dv_{z}=4\pi v^{2}dv$

となります。よって、マクスウェル分布は

$\displaystyle dn(v)=4\pi n\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}v^{2}\exp\left(-\frac{mv^{2}}{2kT}\right)dv=F(v)dv$

が得られます。

熱速度

速度分布の広がりを表す量として熱速度 $v_{t}$ を導入すると便利です。

マクスウェル分布はガウス分布なので、速度分布の広がりは指数の部分

$\displaystyle\frac{mv_{x}^{2}}{2kT}=\frac{v_{x}^{2}}{2kT/m}$

の

$\displaystyle v_{t}=\sqrt{\frac{2kT}{m}}$

で表現されます。熱速度が大きくなると速度の広がりが大きくなるわけです。

式をみれば

温度が高いと熱速度は大きくなる
気体分子の質量が小さいと熱速度は大きい

ということがわかりますね。

速度分布から統計量を計算する

速度分布から平均、偏差などの統計量を計算していきます。

平均速度

平均速度 $<\mathbf{v}>$ は等方的なので０になります。

実際に

$\displaystyle<v_{x}>=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{n}v_{x}f_{x}(v_{x})dv_{x}$

を計算すれば0になることがわかります。

では、速さの平均を計算します。速さの平均は

$\displaystyle<v>=\frac{1}{n}\int_{0}^{\infty}vF(v)dv=4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}\int_{0}^{\infty}v^{3}\exp\left(-\frac{mv^{2}}{2kT}\right)dv$

となり、公式

$\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^{3}e^{-ax^{2}}dx=\frac{1}{2a^{2}}$

を用いれば

$\displaystyle<v>=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$

が得られます。軽い質量の気体分子で温度が高いと速く動くことがわかります。

速度の標準偏差

速度の標準偏差は、速度の平均が0なので $<v^{2}>$ となります。

これを計算すると

$\displaystyle<v^{2}>=\frac{1}{n}\int_{0}^{\infty}v^{2}F(v)dv=4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}\int_{0}^{\infty}v^{4}\exp\left(-\frac{mv^{2}}{2kT}\right)dv$

から公式

$\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^{4}e^{-ax^{2}}dx=\frac{3}{8a^{2}}\sqrt{\frac{\pi}{a}}$

を使えば

$\displaystyle\sqrt{<v^{2}>}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}$

が得られます。

壁に何個の分子が当たるか？

気体分子が単位体積、単位時間当たり何個の分子があたるかは、分子と壁との反応を考える際に重要です。

そしてこの量は乱雑粒子束 $\Gamma_{x}$ と呼ばれます。

この量を計算してみましょう。

面積1のx軸に垂直な面に速度 $v_{x}$ の分子は単位時間1当たり

$n(v_{x})v_{x}$ 個

あたります。これを速度で積分すれば乱雑粒子束を計算でき

$\displaystyle\Gamma_{x}=\int_{0}^{\infty}v_{x}dn(v_{x})=n\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{1/2}\int_{0}^{\infty}v_{x}\exp\left(-\frac{mv_{x}^{2}}{2kT}\right)dv_{x}\\=n\left(\frac{kT}{2\pi m}\right)^{1/2}=\frac{1}{4}n<v>$

が得られます。