オイラーの運動方程式
カテゴリ:流体力学

質点の運動の解析をする際、まず運動方程式を立てることから始めました。
これと同様に流体のような連続体にも運動方程式が存在します。
ここでは、流体力学における運動方程式であるオイラーの運動方程式を導きます。
オイラーの運動方程式の導出
ニュートンの第二法則は
でした。
これを流体に適応するために、連続体をの立方体にわけます。
質量
この立方体の質量は
になります。
加速度
さらに、加速度は前回紹介した実質微分より
となります。
外力
まず、圧力による力を計算します。
x成分だけを考えると、
となります。これをテイラー展開すると
が得られます。
また、重力のような体積力をとすると
となります。
他にも粘性が連続体にはありますが、ここでは粘性のない完全流体を考えることにします。
まとめ
以上をまとめて運動方程式に代入すれば、x成分は
となります。ここで、とすれば、
となるので
が得られます。同様にy,z成分も計算すると以下の定理を得ることができます。
オイラーの運動方程式
オイラーの方程式が流体力学における運動方程式となります。
著者:安井 真人(やすい まさと)
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