ベルヌーイの定理
カテゴリ:流体力学

力学にエネルギー保存則があったように、流体力学にもエネルギー保存則が存在します。
それがベルヌーイの定理です。
ここでは、ベルヌーイの定理を導き、解説します。
ベルヌーイの定理の導出
エネルギー保存則では、速度の2乗を微分することで導きました。
そこで、ここでは速度の二乗
を空間で偏微分します。すると
が得られます。また、運動方程式
を変形し
を利用すると
となります。ここで、
とおくと、
が得られます。同様にy、z成分の計算を行うと
、
となります。まとめると最終的に
という式になります。これがベルヌーイの定理です。
外力がポテンシャルをもちバルトロピー流体の場合
上記の式で
- バルトロピー流体(圧力で密度がきまる)
- 外力がポテンシャル
をもつ
という条件とを加えるともう少しすっきりとかくことができます。
バルトロピー流体とは圧力で密度が決まる流体なので、空間に依存しません。よって、
となります。また、外力がポテンシャルをもつので
と記述できます。よって、ベルヌーイの定理は
となります。
さらに定常な流れで流線を沿ってベルヌーイの定理を考えると
流体の流れが定常の場合だと、
なので
が得られます。さらに、流線に沿ってベルヌーイの定理を考えると、
なのでの流線方向成分はゼロになります。よって
となります。流線にそって積分すれば
が得られます。
非圧縮性流体で、外力が重力のみの場合
さらに水のような非圧縮性の流体で外力が重力のみなら
、
より
となります。流線に沿って、このベルヌーイの定理を使えば、圧力と流速の計算に使用できて便利です。
著者:安井 真人(やすい まさと)
@yasui_masatoさんをフォロー