ベルヌーイの定理

カテゴリ：流体力学

力学にエネルギー保存則があったように、流体力学にもエネルギー保存則が存在します。

それがベルヌーイの定理です。

ここでは、ベルヌーイの定理を導き、解説します。

ベルヌーイの定理の導出

エネルギー保存則では、速度の２乗を微分することで導きました。

そこで、ここでは速度の二乗

　 $q^{2}=u^{2}+v^{2}+w^{2}$

を空間で偏微分します。すると

　 $\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2}q^{2}\right)=u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial x}+w\frac{\partial w}{\partial x}$

が得られます。また、運動方程式

　 $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}+F_{x}$

を変形し

　 $\displaystyle u\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial t}-v\frac{\partial u}{\partial y}-w\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}+F_{x}$

を利用すると

　 $\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2}q^{2}\right)=-\frac{\partial u}{\partial t}-v\frac{\partial u}{\partial y}-w\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}+F_{x}+v\frac{\partial v}{\partial x}+w\frac{\partial w}{\partial x}\\=-\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}+F_{x}+w\left(\frac{\partial w}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial z}\right)-v\left(\frac{\partial u}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial x}\right)$

となります。ここで、

　 $\vec{\omega}=\left(\begin{array}{c}\xi\\\eta\\\zeta\end{array}\right)=\nabla\times\vec{v}=\left(\begin{array}{c}\displaystyle\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}\\\displaystyle -\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z}\\\displaystyle\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\end{array}\right)$

とおくと、

　 $\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2}q^{2}\right)=-\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}+F_{x}-w\eta+v\zeta\\\Leftrightarrow\frac{\partial u}{\partial t}-\left(v\zeta-w\eta\right)=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}+F_{x}-\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2}q^{2}\right)$

が得られます。同様にy、z成分の計算を行うと

　 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}-\left(w\xi-u\zeta\right)=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}+F_{y}-\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{2}q^{2}\right)$ 、

　 $\displaystyle\frac{\partial w}{\partial t}-\left(u\eta-v\xi\right)=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}+F_{z}-\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{1}{2}q^{2}\right)$