ベルヌーイの定理の応用
カテゴリ:流体力学

前回、ベルヌーイの定理について導出しました。
ベルヌーイの定理はエネルギー保存則で、うまく応用することで簡単に流速を計算できたりします。
ここでは、実際にベルヌーイの定理を使って問題を解いていきます。
ベルヌーイの定理の応用1:トリチェリの定理
コップに穴が開いていて水が漏れています。
この穴から出てくる流速を計算します。
水の場合、非圧縮性流体です。そして、外力は重力だけです。
また、実際には定常流れでないのですが、十分小さい時間を考えればほぼ定常な流れとみなせます。
よって、ベルヌーイの定理より
が得られます。ここで、はそれぞれ大気圧、水の密度、重力加速度となります。
この方程式をBでの速度について解くと
となります。これをトリチェリの定理と呼びます。
結局の話、落下するボールと同じ結果というわけですね。
ベルヌーイの定理の応用2:ピトー管
では、ベルヌーイの定理を応用して流速を測ってみます。
流速をはかるのにはピトー管というものを用います。
ピトー管は、流れに対して垂直におくことで流速を計測します。
点AとBでベルヌーイの定理を適用すると
となります。点Bは流れがピトー管に遮られ速度が0になります。この点をよどみ点と呼んだりします。
そして、がそれぞれ地点A、Bでの圧力になります。
さらに計算すれば、流速が
となります。あとは、地点AとBでの圧力がわかれば流速を求めることができます。
まず、圧力はピトー管の中心管における水面の高さから計測できます。よって、
がBでの圧力です。
一方、Aでの圧力はCと流速が同じなので同じになります。よって、ピトー管の側面より流入する水の高さを計測すれば地点Aの圧力がとなります。
以上より、
が流速となり、ピトー管の中央・側面における水面の差で計測できます。
ベルヌーイの定理の応用3:水面下の圧力
ちなみに液面差と圧力差に関してもベルヌーイの定理より計算できます。
いまコップの水を考えます。すると、ベルヌーイの定理より
が得られます。よって、先ほどのピトー管では液面差から
となります。
著者:安井 真人(やすい まさと)
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