運動方程式の積分Ⅱ-エネルギー保存則-

カテゴリ：初等力学

前回まででは運動方程式を時間で積分して解を求めてきました。

ここでは、運動方程式を空間で積分することで、運動方程式の性質を調べます。

運動方程式を空間で積分する

ではさっそく運動方程式を時間で積分します。

まず、運動方程式

　 $\displaystyle m\frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}=\mathbf{f}\left(x,\frac{dx}{dt},\cdots\right)$

を考えます。

この方程式の両辺と微小変位 $\Delta\mathbf{r}$ との内積をとります。

すると、

　 $\displaystyle m\frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}\cdot\Delta\mathbf{r}=\mathbf{f}\cdot\Delta\mathbf{r}$

が得られます。

あとは、軌跡 $C$ について積分していきます。

軌跡 $C$ で積分すると先ほどの左辺は

　 $\displaystyle\int_{C}m\frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}\cdot d\mathbf{r}$

となり、右辺は軌跡 $C$ で積分すると

　 $\displaystyle W(C)=\int_{C}\mathbf{f}\cdot d\mathbf{r}$

となります。インテグラルについている添字は軌跡 $C$ で積分することを意味しています。

左辺の計算

左辺は以下のように計算できます。

　 $\displaystyle\int_{C}m\frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}\cdot d\mathbf{r}\\=m\int_{C}\frac{d^{2}x}{dt^{2}}dx+m\int_{C}\frac{d^{2}y}{dt^{2}}dy+m\int_{C}\frac{d^{2}z}{dt^{2}}dz\\=m\int_{t_{0}}^{t_{1}}\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\frac{dx}{dt}dt+\int_{t_{0}}^{t_{1}}\frac{d^{2}y}{dt^{2}}\frac{dy}{dt}dt+\int_{t_{0}}^{t_{1}}\frac{d^{2}z}{dt^{2}}\frac{dz}{dt}dt$

さらに

　 $\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}v_{x}^{2}\right)=\frac{1}{2}2v_{x}\frac{dv_{x}}{dt}=v_{x}\frac{dv_{x}}{dt}\\=\frac{dx}{dt}\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$

であることを使えば

　 $\displaystyle\int_{t_{0}}^{t_{1}}\frac{d}{dt}\left(\frac{m}{2}v_{x}^{2}\right)dt+\int_{t_{0}}^{t_{1}}\frac{d}{dt}\left(\frac{m}{2}v_{y}^{2}\right)dt+\int_{t_{0}}^{t_{1}}\frac{d}{dt}\left(\frac{m}{2}v_{z}^{2}\right)dt\\=\left[\frac{m}{2}v_{x}^{2}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}+\left[\frac{m}{2}v_{y}^{2}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}+\left[\frac{m}{2}v_{z}^{2}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}\\=\left[\frac{m}{2}v^{2}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}\\=\frac{m}{2}v(t_{1})^{2}-\frac{m}{2}v(t_{0})^{2}\\=K(t_{1})-K(t_{0})$

が得られます。ここで

　 $\displaystyle K=\frac{m}{2}v^{2}$

を質点の運動エネルギーとよび、質点の速度のみに依存する値となっています。運動エネルギーは

質量が大きいほど高い
速いほど大きい

という特徴があります。わたしたちの日常でいえば、高速道路を走るトラックはかなりの運動エネルギーをもっているということができます。

右辺の計算

$W$ は力の値がよくわからないのでこれ以上の計算はできません。

ちなみに、この $W$ のことを力 $\mathbf{f}$ が質点へ与える仕事と呼びます。

まとめ

以上まとめると

　 $K(t_{1})-K(t_{0})=W(C)$ ・・・(1)

となります。運動エネルギーや仕事の単位は

　 $\displaystyle\frac{m}{2}v^{2}=kg\cdot\frac{m^{2}}{t^{2}}$

となります。よく使うので、

　 $J=kg\cdot m^{2}/s^{2}$

とおき、 $J$ をジュールと呼びます。

様々な力の仕事と保存力

以下、具体的に特徴的な力の仕事を計算していきます。

例.1 重力

ためしに重力下での質点の運動について今回学習した内容を適用します。

まず、質点にかかる力は鉛直上向きにz軸をとれば、z方向だけ力がかかり

　 $f_{z}=-mg$

となります。

次に仕事を計算します。よくわからない軌跡 $C$ で積分すれば

　 $\displaystyle W_{C}=-\int_{C}mgdz=-mg(z(t)-z(t_{0}))$

が得られます。よって、式(1)に代入すれば

　 $\displaystyle\frac{m}{2}v(t)^{2}-\frac{m}{2}v(t_{0})^{2}=-mg(z(t)-z(t_{0}))$ ・・・(2)

となります。まとめると

　 $v(t)^{2}=v(t_{0})^{2}-2g(z(t)-z(t_{0}))$

が得られます。

実際に解いてみると

式(1)では質点の軌跡までは求められない

ということがわかります。一方、

質点の速さは式(1)で求めることができる

ということもわかります。ですから、質点の速さを知りたい場合には有効であることが理解できたかと思います。

また、式(2)を変形すると

　 $\displaystyle K(t)-K(t_{0})=-mgz(t)+mgz(t_{0})\\\Leftrightarrow K(t)+mgz(t)=K(t_{0})+mgz(t_{0})$

となります。さらに

　 $U(t)=mgz(t)$

とおけば

　 $K(t)+U(t)=K(t_{0})+U(t_{0})$

となり

　 $E(t)=K(t)+U(t)$ ・・・(3)

が保存していることがわかります。 $U,E$ をそれぞれ重力の位置エネルギーと力学的エネルギーといいます。そして、式(3)のことをエネルギー保存則といいます。

位置エネルギーという理由は質点の位置だけに依存するエネルギーだからです。

また、位置エネルギーを用いて仕事を表現すると

　 $W_{C}=-U(z)+U(z_{0})$

となります。これより、

重力による仕事は経路Cに依存せず始点と終点できまる

ということがわかります。

このように仕事が経路によらない力のことを保存力といいます。

例2. バネ

次にバネの問題に適用します。バネの力は自然長を原点におけば

　 $f_{x}=-kx$

なので、軌跡 $C$ にそって積分すれば

　 $\displaystyle W_{C}=-\int_{x(0)}^{x(t)}kxdx=-\frac{k}{2}(x(t)^{2}-x(0)^{2})$

となります。よって、式(1)に代入すれば

　 $\displaystyle\frac{m}{2}v(t)^{2}-\frac{m}{2}v(0)^{2}=-\frac{k}{2}x(t)^{2}+\frac{k}{2}x(0)^{2}$ ・・・(4)

が得られます。よって、初期値の速度や位置と現時刻の位置がわかれば、速さを計算できます。

また、式(4)を変形すれば

　 $\displaystyle\frac{m}{2}v(t)^{2}+\frac{k}{2}x(t)^{2}=\frac{m}{2}v(0)^{2}+\frac{k}{2}x(0)^{2}$

なので、バネ力の位置エネルギーは

　 $\displaystyle U(x)=\frac{k}{2}x^{2}$

となります。

バネによる仕事は

　 $W_{C}=-U(x(t))+U(x(0))$

となります。これより、バネによる仕事は経路によりません。よって、バネによる力は保存力です。

例3.空気抵抗

最後に空気抵抗

　 $f=-cv$

の仕事を計算します。定義にしたがって計算すると

　 $\displaystyle W_{C}=-c\int_{C}\left(\frac{dx}{dt}dx+\frac{dy}{dt}dy+\frac{dz}{dt}dz\right)\\=-c\int_{t_{0}}^{t} (v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})dt\\=-c\int_{t_{0}}^{t} v^{2}dt<0$

となります。この式から、質点が速い速度で長い時間移動ほど空気抵抗は負の仕事をすることがわかります。また、空気抵抗による仕事は経路に依存します。たとえば、地点AからBへ移動するさい、たとえ同じ速度でも距離によって空気抵抗による仕事は異なります。

よって空気抵抗は保存力ではありません。

保存力の性質

保存力とは、仕事が経路によらない力のことで重力やバネによる力が保存力でした。

保存力は仕事が経路によらないので

　 $W_{C}=W(A\to B)$

と表記できます。そこで、ある地点Aを基準として

　 $U(X)=-W(A\to X)$

とすれば、任意位置 $X$ から $Y$ への仕事は

　 $W(X\to Y)=W(X\to A)+W(A\to Y)=-W(A\to X)+W(A\to Y)=U(X)-U(Y)$

となります。

これを、式(1)に代入すれば

　 $K(B)-K(A)=U(A)-U(B)\Leftrightarrow K(A)+U(A)=K(B)+U(B)$

が得られます。これがエネルギー保存則であり、 $U$ は位置エネルギーだとわかります。

以上まとめると

保存力とは仕事が経路によらない力である
保存力の場合、ある地点を基準にとって位置エネルギーを定義できる
運動エネルギーと位置エネルギーの和は一定であり、このことをエネルギー保存則と呼ぶ

となります。また、重力とバネの位置エネルギーはそれぞれ

　 $\displaystyle U(z)=mgz,\\U(x)=\frac{1}{2}kx^{2}$

です。

保存力と位置エネルギーの関係

保存力と位置エネルギーの関係について考えます。

位置A $(x,y,z)$ から位置B $(x+\Delta x,y,z)$ へ質点が移動したとします。

まず、保存力から仕事を計算すると

　 $W(A\to B)=-W(X\to A)+W(X\to B)\\=U(A)-U(B)\\=U(x,y,z)-U(x+\Delta x,y,z)$

となります。

一方、保存力から計算すると経路に依存しないので

　 $\displaystyle W(A\to B)=\frac{f(x,y,z)+f(x+\Delta x,y,z)}{2}\Delta x$

が得られます。よって、

　 $\displaystyle U(x+\Delta x,y,z)-U(x,y,z)=-\frac{f(x,y,z)+f(x+\Delta x,y,z)}{2}\Delta x\\\Leftrightarrow\frac{U(x+\Delta x,y,z)-U(x,y,z)}{\Delta x}=-\frac{f(x,y,z)+f(x+\Delta x,y,z)}{2}$

となり、 $\Delta x\to 0$ とすれば

　 $\displaystyle\frac{\partial U}{\partial x}=-\frac{f(x,y,z)+f(x,y,z)}{2}=-f(x,y,z)$

となります。同様にしてy,zでも計算でき、まとめると

　 $\left(\begin{array}{c}f_{x}\\f_{y}\\f_{z}\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{c}\displaystyle\frac{\partial U}{\partial x}\\\displaystyle\frac{\partial U}{\partial y}\\\displaystyle\frac{\partial U}{\partial z}\end{array}\right)=-\nabla U$

となります。ここで

　 $\nabla=\left(\begin{array}{c}\displaystyle\frac{\partial U}{\partial x}\\\displaystyle\frac{\partial U}{\partial y}\\\displaystyle\frac{\partial U}{\partial z}\end{array}\right)$

でナブラと呼ばれる演算子です。ベクトル型の演算子だと考えてください。ナブラを使うと式を簡単にかけて便利です。

以上のことから、保存力と位置エネルギーの関係は

　 $\mathbf{f}=-\nabla U$

となることがわかりました。

例として、重力を位置エネルギーから計算します。まず、重力の位置エネルギーは

　 $U(z)=mgz$

なので、重力は

　 $\left(\begin{array}{c}f_{x}\\f_{y}\\f_{z}\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{c}\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}mgz\\\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}mgz\\\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}mgz\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\-mg\end{array}\right)$

となります。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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