電場と電位の関係

　電場から電位を計算できることがわかりました。ここでは、電位から電場を計算できるようにします。二次元の微分である偏微分を使うので、少し事前に勉強しておくといいでしょう（といってもただ平面で近似しただけです）。

電場を電位で表現する

　まず、電位の定義は

　 $\displaystyle V(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_{0}}^{\vec{r}}\vec{E}\cdot d\vec{r}$

でした。ここで位置を $\vec{i}\Delta x$ ずらした電位との差を取ると

　 $\displaystyle V(x+\Delta x,y,z)-V(x,y,z)\\=-\int_{\vec{r}_{0}}^{\vec{r}+\vec{i}\Delta x}\vec{E}\cdot d\vec{r}+\int_{\vec{r}_{0}}^{\vec{r}}\vec{E}\cdot d\vec{r}\\\displaystyle=-\int_{\vec{r}}^{\vec{r}+\vec{i}\Delta x}\vec{E}\cdot d\vec{r}\\\displaystyle=-\int_{\vec{r}}^{\vec{r}+\vec{i}\Delta x}E_{x}dx+E_{y}dy+E_{z}dz$

ここでx方向しか変化しないので、

　 $\displaystyle V(x+\Delta x,y,z)-V(x,y,z)=-\int_{\vec{r}}^{\vec{r}+\vec{i}\Delta x}E_{x}dx$

となります。ここで $E_{x}$ の不定積分を $F_{x}$ とすれば

　 $V(x+\Delta x,y,z)-V(x,y,z)$ ,

　 $\displaystyle=-\left[ F_{x}(x,y,z)\right] _{\vec{r}}^{\vec{r}+\vec{i}\Delta x}$ ,

　 $\displaystyle=-F_{x}(x+\Delta x,y,z)+F_{x}(x,y,z)$

となり、両辺を $\Delta x$ で割れば

　 $\displaystyle\frac{V(x+\Delta x,y,z)-V(x,y,z)}{\Delta x}=-\frac{F_{x}(x+\Delta x,y,z)-F_{x}(x,y,z)}{\Delta x}$

となります。最後に極限 $\Delta x$ を取れば

　 $\displaystyle\frac{\partial V}{\partial x}=-\frac{\partial F_{x}}{\partial x}=-E_{x}$ ,

　 $\displaystyle\Leftrightarrow E_{x}=-\frac{\partial V}{\partial x}$

が得られます。同様にして、

　 $\displaystyle E_{y}=-\frac{\partial V}{\partial y},E_{z}=-\frac{\partial V}{\partial z}$

となるので、結局

　 $\displaystyle \vec{E}(x,y,z)=-\left(\begin{array}{c}\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\\ \displaystyle\frac{\partial}{\partial y} \\ \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\end{array}\right) V(x,y,z)=-\nabla V(x,y,z)$

となります。ここで、

　 $\displaystyle \nabla=\left(\begin{array}{c}\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\\ \displaystyle\frac{\partial}{\partial y} \\ \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\end{array}\right)$