アンペールの法則

　ビオ・サヴァールの法則により、点電荷の動きから磁場を計算できるようになりました。今回は、ビオ・サヴァールの法則を用いて、電流が作り出す磁場を計算していきます。

アンペールの法則

いま、z軸の正の方向へ電流が流れている状況を考えます。

磁束密度の計算

このとき、この電流がつくる磁場を計算します。まず、電流を $I$ とします。そして、座標 $(r,0,0)$ の磁場をビオ・サヴァールの法則より計算します。z軸上のzから $z+\Delta z$ の間には単位時間あたり

　 $I=-env$

の電荷が流れています。ここで、 $n,v$ はそれぞれ単位長さあたりの電子数と電子の平均速度です。また、 $\Delta z$ には $n\Delta z$ 個の電子がいるので、この要素が $(r,0,0)$ へ与える磁束密度はビオ・サヴァールの法則より

　 $\displaystyle\Delta \vec{B}(r,0,0)=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{-e\vec{k}v}{z^{2}+r^{2}}\times \frac{r\vec{i}-z\vec{k}}{(z^{2}+r^{2})^{1/2}}n\Delta z$ ,

　 $\displaystyle=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{\vec{k}I\times (r\vec{i}-z\vec{k})}{(z^{2}+r^{2})^{3/2}}\Delta z$ ,

　 $\displaystyle=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{r\Delta z}{(z^{2}+r^{2})^{3/2}}\vec{j}$

となります。これを積分すれば

　 $\displaystyle\vec{B}(r,0,0)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{r dz}{(z^{2}+r^{2})^{3/2}}\vec{j}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\vec{j}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{r dz}{(z^{2}+r^{2})^{3/2}}$

となり、ここで、

　 $z=r\tan\theta$

とすれば

　 $\displaystyle z^{2}+r^{2}=r^{2}(1+\tan^{2}\theta)=\frac{r^{2}}{\tan^{2}\theta}$ ,

　 $\displaystyle\frac{dz}{d\theta}=\frac{r}{\cos^{2}\theta}$

より

　 $\displaystyle\vec{B}(r,0,0)=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\vec{j}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{r }{\displaystyle\frac{r^{3}}{\cos^{3}\theta}}\frac{r}{\cos^{2}\theta}d\theta$ ,