人工衛星の運動

カテゴリ：力学

前回、万有引力の法則について説明しました。

ここでは万有引力の法則を使って、人工衛星の運動について解析していきます。

まず、人工衛星ですが、地球の質量と比べて非常に小さいので地球は人工衛星の影響を受けずにほとんど止まっていると考えます。

そこで、地球を原点にとるように座標を選びます。

いま、地球と人工衛星の質量をそれぞれ $M,m$ とすると人工衛星にかかる力の大きさは万有引力の法則より

　 $\displaystyle |\vec{F}|=-G\frac{Mm}{r^{2}}$

となります。さらに力の向きは原点(地球)を向いているので

　 $\displaystyle\vec{F}=-G\frac{Mm}{r^{2}}\frac{\vec{r}}{r}$ ・・・(1)

となります。ここで $\vec{r}$ は人工衛星の位置ベクトルで、

　 $r=|\vec{r}|$

となります。

式(1)を使って、人工衛星の運動方程式を立てると

　 $\displaystyle m\frac{d\vec{v}}{dt}=-G\frac{Mm}{r^{2}}\frac{\vec{r}}{r}$ ・・・(2)

となります。

あとは式(2)を解いていくわけです。

まず、人工衛星にはたらく力は地球の方向へ向いているので、ある平面内を運動することがわかります。そこで、人工衛星の軌道をxy平面上として計算します。

するとz成分は常に0となります。

次に力は距離 $r$ に依存するので、デカルト座標系より極座標系の方が良さそうです。そこで

　 $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ ・・・(2)

と座標変換します。すると運動方程式は

　 $\displaystyle m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-G\frac{Mm}{r^{2}}\frac{r\cos\theta}{r}$ ・・・(3)

　 $\displaystyle m\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=-G\frac{Mm}{r^{2}}\frac{r\sin\theta}{r}$ ・・・(4)

となります。極座標へ変換するため式(2)を頑張って時間で微分していくと

　 $\displaystyle\frac{dx}{dt}=\frac{dr}{dt}\cos\theta-r\frac{d\theta}{dt}\sin\theta$ ,

　 $\displaystyle\frac{dy}{dt}=\frac{dr}{dt}\sin\theta+r\frac{d\theta}{dt}\cos\theta$ ,

となりさらに微分すると

　 $\displaystyle\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\frac{d^{2}r}{dt^{2}}\cos\theta-2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}\sin\theta-r\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}\sin\theta-r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^{2}\cos\theta$ ,

　 $\displaystyle\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=\frac{d^{2}r}{dt^{2}}\sin\theta+2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}\cos\theta+r\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}\cos\theta-r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^{2}\sin\theta$

となります。この式を使って

式(3)× $\cos\theta$ +式(4)× $\sin\theta$ ,

式(3)× $\sin\theta$ -式(4)× $\cos\theta$

を計算していくと式(3),(4)は

　 $\displaystyle m\left(\frac{d^{2}r}{dt^{2}}-r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^{2} \right)=-G\frac{Mm}{r^{2}}$ ・・・(5)

　 $\displaystyle m\left(-2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}-r\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}\right)=0$ ・・・(6)

となります。

式(6)は

　 $\displaystyle\frac{m}{r}\frac{d}{dt}\left(r^{2}\frac{d\theta}{dt}\right)=m\left( 2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}+r\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}\right)$

を使うと

　 $\displaystyle\frac{m}{r}\frac{d}{dt}\left(r^{2}\frac{d\theta}{dt}\right)=0\Leftrightarrow \frac{d}{dt}\left(r^{2}\frac{d\theta}{dt}\right)=0 \Leftrightarrow r^{2}\frac{d\theta}{dt}=C$ ・・・(7)