バネにつながった質点の運動

カテゴリ：力学

　様々な力は１次関数で近似できるので、バネの運動はいろいろなところに応用可能です。例えば、車のボディの変形などもそうですね。ここでは、質点の運動の解析例として、バネにつながった質点の運動について解析します。

 バネの運動を解く

　でははじめましょう。いま以下の図のように質点がバネ定数kのバネにつながっている状況を考えます。

バネにつながった質点

ここで、バネの自然長をl_{0}とします。そして、l_{0}から質点をX_{0}引っ張って時刻0で離したとしましょう。このときの質点の運動を計算します。

運動方程式を立てる

　まず、運動方程式を立てるため、バネの自然長の位置を原点として座標をとります。

座標の取り方

もし質点が位置xにいるとすると、バネの長さは

　l_{0}+x

となるので、伸びは

　l_{0}+x-l_{0}=x

となります。よって、バネが質点へ与える力は

　F_{x}=-kx

になります。よって、質点の運動方程式は

　\displaystyle m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-kx

となります。一方、y,z成分は質点がx軸上に固定されていることから

　y(t)=0,z(t)=0

となります。

拘束条件

物体の動きに制限を与える条件を拘束条件と呼ぶ。

微分方程式を解く

　さて、先ほどの微分方程式は二階の線形微分方程式なので二つの解f_{1}(t),f_{2}(t)を見つけて、

　x(t)=C_{1}f_{1}(t)+C_{2}f_{2}(t)

としたものが答えでした。詳しくはMEMOを読んでください。

二階の線形微分方程式とは

　\displaystyle \frac{d^{2}f(t)}{dt^{2}}+a\frac{df(t)}{dt}+bf(t)=0

の形をした微分方程式です。この方程式の解がf_{1},f_{2}とあったとすると

　\alpha f_{1}+\beta f_{2}

も解となります。実際に代入すると

　\displaystyle \frac{d^{2}(f_{1}(t)+f_{2}(t))}{dt^{2}}+a\frac{d(f_{1}(t)+f_{2}(t))}{dt}+b(f_{1}(t)+f_{2}(t))\\=\left(\frac{d^{2}f_{1}(t)}{dt^{2}}+a\frac{df_{1}(t)}{dt}+bf_{1}(t)\right)+\left(\frac{d^{2}f_{2}(t)}{dt^{2}}+a\frac{df_{2}(t)}{dt}+bf_{2}(t)\right)\\=0+0=0

と確かに成り立ちます。この性質を線形性といいます。二階の微分方程式の場合、二回積分して定数が２つ出てきます。ですから、微分方程式を満たすような適切な解を２つ見つけ、\alpha f_{1}+\beta f_{2}とすればそれば一般解となるわけです。

そこで、頑張って解を見つけると

　\displaystyle f_{1}(t)=\sin \left( \sqrt{\frac{k}{m}}t\right), f_{2}(t)=\cos \left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)

が見つかります。

　\displaystyle m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-kx

のように、二回微分して負の数がでてくるので、三角関数だと容易に想像がつきます。また、振動する運動を考えていることからも三角関数がおもいつきますよね。上記の解を試しに微分方程式に代入してみるとわかります。

　以上のことから、

　\displaystyle x(t)=C_{1}\sin \left( \sqrt{\frac{k}{m}}t\right)+C_{2}\cos \left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)

が一般解となります。

初期条件を使う

　あとは定数C_{1},C_{2}を初期条件から求めていきます。X_{0}引っ張って離すので、初期条件は

　x(0)=X_{0}

　v(0)=0

となります。まず、x(0)=X_{0}より

　x(0)=C_{2}=X_{0}

となります。次にv(0)=0より

　\displaystyle v(t)=C_{1}\sqrt{\frac{k}{m}}\cos \left( \sqrt{\frac{k}{m}}t\right)-C_{2}\sqrt{\frac{k}{m}}\sin \left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)

　\displaystyle v(0)=C_{1}\sqrt{\frac{k}{m}}=0

となり、C_{1}=0が得られます。

最終解

以上より最終的な解は

　\displaystyle x(t)=X_{0}\cos \left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)

となります。確かに原点周りで振動していますね。

振動の用語

振動にはいくつか用語があるので、解説します。

振動の速さに関わる用語

　まず、振動には周期があります。

周期

循環して起こる現象や動作が、ひと回りして前と同じ状態になるまでの時間のことを周期と呼ぶ。

今回の場合は

　\displaystyle x(t)=X_{0}\cos \left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)

であり、cosの中が2\piのとき一周するので

　\displaystyle\sqrt{\frac{k}{m}}T=2\pi\Leftrightarrow T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

となります。

質量がおおきく、ばねが伸びやすいほど周期が長くなるのがわかります。また、周期の逆数である周波数もよく使用する用語なのでおさえておきましょう。

周波数

周期の逆数
\displaystyle f=\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}
を周波数という。

周波数が高いほど、早く質点は動き、低いほど、ゆっくり動きます。さらに、

角周波数

\displaystyle\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)の\displaystyle\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}のことを角周波数と呼ぶ。

角周波数を使うことで、

　\displaystyle x(t)=X_{0}\cos \left(\omega t\right)

と解をかけるので便利です。

 振動の大きさに関わる用語

以上が振動の速さに関わる用語でした。今度は振動の大きさに関わる用語です。

振幅

　\displaystyle x(t)=X_{0}\cos \left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)

におけるX_{0}のことを振幅（しんぷく）と呼ぶ。

　以上のように振動には、いろいろ用語がありますので、しっかり覚えておきましょう。

著者：安井 真人(やすい　まさと)

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