位置エネルギー

カテゴリ：力学

質点のエネルギーの一つに、運動エネルギーがあることを学びました。

もしも質点が外界から位置に依存した力（例：重力）を受ける場合、位置エネルギーという概念を導入できます。

ここでは、重力の位置エネルギーを導入します。

そして、質点の運動エネルギーと位置エネルギーの関係性を示す法則である「エネルギー保存則」を導きます。

バネによる仕事

前回、仕事

　 $\displaystyle\int_{t_{1}}^{t_{2}}\vec{F}(t)\cdot\vec{v}dt$

という量を導入しました。

今回はバネによる仕事を考えます。以下のように、バネ定数 $k$ のバネにつながった質量 $m$ の質点を考えます。

そして、原点は自然長 $l_{0}$ の位置に設定します。

まず、バネが質点へ与える力は

　 $F=-kx$

なので、バネが質点へ与える仕事は

　 $\displaystyle\int_{t_{1}}^{t_{2}}(-kx)vdt\\=\int_{x(t_{1})}^{x(t_{2})}(-kx)dx=-\frac{k}{2}(x(t_{2})^{2}-x(t_{1})^{2})$

となります。

これより、バネによる仕事は始点 $x(t_{1})$ と終点 $x(t_{2})$ で決まることがわかります。

バネによる仕事のように、質点の軌跡によらずに始点と終点により仕事が決まる力を保存力といいます。

保存力では基準位置により各位置の仕事を定義できる

保存力の場合、基準点に対する仕事というものを定義できます。

例えば、質点が地点AからBへ、ある保存力のもと移動したとします。

このとき、保存力が質点へ与えた仕事を $W_{A\to B}$ とします。

すると、保存力は経路によらないので、A→基準点O→Bという経路をとってもいいわけです。ですから、

　 $W_{A\to B}\\=W_{A\to O}+W_{O\to B}\\=-W_{O\to A}+W_{O\to B}$

となります。

確かに、基準点に対して各地点 $X$ での仕事 $W_{O\to X}$ を定義できるのがわかります。

$W_{A\to O}=-W_{O\to A}$ が成り立つことについての補足です。

保存力は仕事が位置に依存するので

　 $W_{O\to O}=0$

です。また、保存力は経路によらないので

　 $W_{O\to O}=W_{O\to A}+W_{A\to O}=0\\\Leftrightarrow W_{A\to O}=-W_{O\to A}$

となります。

さきほどのバネにおいて原点を基準とした場合、各地点 $x$ での仕事を求めよ。

地点 $0$ から $x$ の仕事を計算します。

時刻0では地点 $0$ 、時刻 $t$ では地点 $x$ に質点がいるとします。

すると、仕事は

　 $\displaystyle W(x)=\int_{0}^{t}(-kx)vdt=\int_{0}^{t}\left(-kx\frac{dx}{dt}\right)dt\\=\left[-\frac{k}{2}x(t)^{2}\right]_{0}^{t}=-\frac{k}{2}(x(t)^{2}-x(0)^{2})=-\frac{k}{2}x^{2}$

となります。

ここで出てくる積分ですが、合成関数の微分より

　 $\displaystyle\frac{d}{dt}\left(-\frac{k}{2}x^{2}\right)=-kx\frac{dx}{dt}$

となることを使っています。

位置エネルギー

ここで、「 $W_{O\to X}$ というのは、地点OからXまで行く過程にバネ（保存力）が質点にする仕事（与えるエネルギー）」ということになります。

逆に、質点の立場から考えると、「 $W_{O\to X}$ は質点がバネ（保存力）から得るエネルギー」ということになります。

さらに言い換えると、「 $-W_{O\to X}$ は質点がバネ（保存力）へ与えるエネルギー」ということになります。

よって、 $-W_{O\to X}$ は質点が保存力へ預けたエネルギーと考えることができます。このことと、この値は位置のみに依存することから

　 $U(X)=-W_{O\to X}$

を位置エネルギーと読んでいます。

さきほどのバネの例における位置エネルギーを求めよ。ただし基準点は原点とする。

原点から位置 $x$ へのバネが質点へ与える仕事は

　 $W(x)=-\frac{k}{2}x^{2}$

でした。よって、位置エネルギーは

　 $U(x)=-W(x)=\frac{k}{2}x^{2}$

となります。

重力による位置エネルギーを求めよ。ただし、基準点は原点とする。

鉛直上向きにz軸をとると、原点から $z$ までに質点に重力が与える仕事は

　 $W=\int_{0}^{t}(-mg)\frac{dz}{dt}dt=-mg\left[z\right]_{0}^{t}\\=-mg(z-0)=-mgz$

なので、位置エネルギーは

　 $U=-W=mgz$

となります。

運動エネルギーと位置エネルギー

では、運動エネルギーと位置エネルギーの関係を考えていきます。

運動方程式より得られた式

　 $\displaystyle\frac{m}{2}\vec{v}(t_{2})\cdot\vec{v}(t_{2})-\frac{m}{2}\vec{v}(t_{1})\cdot\vec{v}(t_{1})=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\vec{F}(t)\cdot\vec{v}dt$

は保存力のみを考えれば

　 $\displaystyle\frac{m}{2}\vec{v}(t_{2})\cdot\vec{v}(t_{2})-\frac{m}{2}\vec{v}(t_{1})\cdot\vec{v}(t_{1})=W(\vec{r}(t_{2}))-W(\vec{r}(t_{1}))$

　 $\displaystyle\Leftrightarrow \frac{m}{2}\vec{v}(t_{1})\cdot\vec{v}(t_{1})-W(\vec{r}(t_{1}))=\frac{m}{2}\vec{v}(t_{2})\cdot\vec{v}(t_{2})-W(\vec{r}(t_{2}))$