運動量保存則

カテゴリ：力学

以前に、エネルギー保存則という便利な法則を紹介しました。

このような保存則は他にもあり、ここではそのうちの一つである運動量保存則を紹介します。

運動量保存則を使うことで、２つの質点の運動の解析に役立てることができます。

 

では、運動量保存則の導出のため、二つの質点A,Bについて考えます。

質点Bが質点Aヘ与える力を\vec{F}_{AB}とし、

質点Aが質点Bへ与える力を\vec{F}_{BA}とします。

 作用反作用

すると運動方程式は

\displaystyle m_{A}\ddot{\vec{r}}_{A}=\vec{F}_{AB}・・・(1)

\displaystyle m_{B}\ddot{\vec{r}}_{B}=\vec{F}_{BA}・・・(2)

となります。ここでm_{A},m_{B}はそれぞれ質点A,Bの質量です。

 

運動方程式(1)と(2)を解きたいのですが、\vec{F}_{AB},\vec{F}_{BA}の値がわかりません。

そこで、相互作用がどのようであっても一般に成り立つ法則を導きます。

 

そのため作用・反作用の法則より

\vec{F}_{AB}=-\vec{F}_{BA}・・・(3)

が成り立つことを使い、式(1)と式(2)を足すと

m_{A}\ddot{\vec{r}}_{A}+m_{B}\ddot{\vec{r}}_{B}=\vec{0},

\displaystyle\frac{d}{dt}\left( m_{A}\vec{v}_{A}+m_{B}\vec{v}_{B}\right)=\vec{0}・・・(4)

となります。式(4)を時間で積分すると

m_{A}\vec{v}_{A}+m_{B}\vec{v}_{B}=\vec{P}・・・(5)

となります。

ここで、m\vec{v}を運動量とよび、\vec{P}は定ベクトルで全運動量と呼ばれます。

そして、式(5)

　m_{A}\vec{v}_{A}+m_{B}\vec{v}_{B}=\vec{P}

を運動量保存則と呼びます。

運動量保存則は質点間の相互作用がわからなくても成り立つのでよく使用します。

著者：安井 真人(やすい　まさと)

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