カルノーサイクル

カテゴリ：熱力学

熱力学のしめとしてカルノーサイクルについて解説します。

カルノーサイクルとは断熱過程と等温過程を使った熱機関です。

このカルノーサイクルの仕事の効率を計算します。

まず、仕事の効率の定義ですが、なるべく投入した熱を仕事に変えて欲しいので、

　 $\displaystyle\eta=\frac{-W}{Q_{+}}$

とします。ここで、 $Q_{+}$ は気体に与えた熱のみを含みます。

もし与えた熱が全て仕事になれば $\eta=1$ となります。

断熱過程での仕事と熱は

　 $\displaystyle W=\frac{3}{2}nR\Delta T,Q=0$

なので、

　 $\displaystyle W_{A\to B}=\frac{3}{2}nR\left(T_{L}-T_{H}\right),Q_{A\to B}=0$ ,

　 $\displaystyle W_{C\to D}=\frac{3}{2}nR\left(T_{H}-T_{L}\right),Q_{C\to D}=0$

となります。また、ポアソンの公式より

　 $T_{H}V_{A}^{\gamma-1}=T_{L}V_{B}^{\gamma-1}$ ,

　 $T_{H}V_{D}^{\gamma-1}=T_{L}V_{C}^{\gamma-1}$

なので、辺と辺を割ると

　 $\displaystyle\left(\frac{V_{A}}{V_{D}}\right)^{\gamma-1}=\left(\frac{V_{B}}{V_{C}}\right)^{\gamma-1}$ ,

　 $\displaystyle\Leftrightarrow \frac{V_{A}}{V_{D}}=\frac{V_{B}}{V_{C}}$ ・・・(1)

が成り立ちます。

等温過程では仕事と熱は

　 $\displaystyle W=-nRT\ln \frac{V_{1}}{V_{0}},Q=nRT\ln\frac{V_{1}}{V_{0}}$

だったので、

　 $\displaystyle W_{B\to C}=-nRT_{L}\ln\frac{V_{C}}{V_{B}},Q_{B\to C}=nRT_{L}\ln\frac{V_{C}}{V_{B}}<0$ ,

　 $\displaystyle W_{D\to A}=-nRT_{H}\ln\frac{V_{A}}{V_{D}},Q_{D\to A}=nRT_{H}\ln\frac{V_{A}}{V_{D}}>0$

となります。

以上より、理想気体に与えた熱は

　 $\displaystyle Q_{+}=Q_{D\to A}=nRT_{H}\ln\frac{V_{A}}{V_{D}}$

で、仕事の合計は

　 $\displaystyle W=-nRT_{L}\ln\frac{V_{C}}{V_{B}}-nRT_{H}\ln\frac{V_{A}}{V_{D}}$

なので、効率は

　 $\displaystyle \eta=\frac{-W}{Q_{+}}=\frac{T_{L}}{T_{H}}\frac{\displaystyle\ln\frac{V_{C}}{V_{B}}}{\displaystyle\ln\frac{V_{A}}{V_{D}}}+1$

となり式(1)を使うと

　 $\displaystyle \eta=1-\frac{\displaystyle\ln\frac{V_{B}}{V_{C}}}{\displaystyle\frac{V_{A}}{V_{D}}}=1-\frac{T_{L}}{T_{H}}$

が得られます。これがカルノーサイクルの効率となります。

なるべく温度差を大きくすると効率がよくなることがわかりますね。

以上で、熱力学の解説を終わります。お疲れさまでした。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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