波動方程式の解の性質

カテゴリ：波動

前回、弦の波動方程式

　 $\displaystyle\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}=\frac{T}{\rho}\frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}}$

を導きました。今回は波動方程式の解について考えていきます。

弦の運動方程式

解の模索

　まず、いろいろと解を模索するため、

　 $\displaystyle y(x,t)=A\sin \left( x-ct\right)$

を試しに式に代入してみましょう。この関数は

　 $\displaystyle\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=-c^{2}A\sin\left( x-ct\right)=-c^{2}y(x,t)$ ,

　 $\displaystyle\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=-A\sin\left( x-ct\right)=-y(x,t)$

なので

　 $\displaystyle\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=c^{2}\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}$

となることがわかります。これと波動方程式を比べると

　 $\displaystyle c=\pm\sqrt{\frac{T}{\rho}}$

とすれば一致します。ですから

　 $\displaystyle y_{+}(x,t)=A\sin \left( x-\sqrt{\frac{T}{\rho}}t\right)$ ,

　 $\displaystyle y_{-}(x,t)=A\sin \left( x+\sqrt{\frac{T}{\rho}}t\right)$

は波動方程式の解の一つであることがわかります。

解の一般化

　上記のことを一般化すると

　 $\displaystyle f(x,t)=f(x-ct),\\g(x,t)=g(x+ct),\\c=\sqrt{\frac{T}{\rho}}$

が波動方程式の解となることがわかります。ここで関数 $f,g$ は好きなものを選んでください。ただし、弦の両端は固定してあるので、両端でゼロとなる関数です。実際に、関数 $f$ を偏微分（２つある変数のうち片側が一定とみなし微分）すると

　 $\displaystyle\frac{\partial^{2}f}{\partial t^{2}}=c^{2}f(x-ct)$

　 $\displaystyle\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=f(x-ct)$

となり

　 $\displaystyle\frac{\partial^{2}f}{\partial t^{2}}=c^{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}$

が得られます。 $g(x,t)$ も同様です。

進行波と後退波

　 $f(x-ct)$ は $t=0$ で原点 $x=0$ にある値 $f(0)$ が、 $t=t_{0}$ では

　 $f(0)=f(x_{0}-ct_{0})\Leftrightarrow x_{0}=ct_{0}$

となるので、速度 $c$ でx軸正の方向へ進んでいることがわかります。そのため $f(x-ct)$ を進行波と呼びます。

　一方 $g(x+ct)$ は同様の考え方をすると、速度 $c$ でx軸負の方向へ進んでいます。そのため $g(x+ct)$ を後退波と呼びます。

　以上のことから、弦での波の伝わる速さは

　 $\displaystyle c=\sqrt{\frac{T}{\rho}}$

となります。つまり、弦を強く引けば引くほど、軽い素材ほど波はすばやく伝わります。糸電話で素早く通信したい場合は、強く糸を引きましょう（ただし、壊れない程度に）。

重ね合わせの原理

　さらに波動方程式について調べると解が

　 $f_{1}(x,t),f_{2}(x,t)$

と二つある場合、これらの組み合わせ

　 $f(x,t)=c_{1}f_{1}(x,t)+c_{2}f_{2}(x,t)$

も解であることがわかります。実際に

　 $\displaystyle \frac{\partial^{2}f_{1}}{\partial t^{2}}=c^{2}\frac{\partial^{2}f_{1}}{\partial x^{2}}$ ,

　 $\displaystyle \frac{\partial^{2}f_{2}}{\partial t^{2}}=c^{2}\frac{\partial^{2}f_{2}}{\partial x^{2}}$

にそれぞれ $c_{1},c_{2}$ をかけて足すと

　 $\displaystyle c_{1}\frac{\partial^{2}f_{1}}{\partial t^{2}}+c_{2}\frac{\partial^{2}f_{2}}{\partial t^{2}}=c_{1}c^{2}\frac{\partial^{2}f_{1}}{\partial x^{2}}+c_{2}c^{2}\frac{\partial^{2}f_{2}}{\partial x^{2}}$ ,

　 $\displaystyle\Leftrightarrow \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}(c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2})=c^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}(c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2})$ ,