音の物理

カテゴリ：波動

　波といったら音です。私たちは音を日常的に使用しているので、ある程度理解しておくと便利です。そこで、ここでは音について考えましょう。簡単化のために、細長いピストンを押すことを考えます。左端のピストンを押せば、空気を伝わって右端のピストンへ伝わります。この際の空気の運動を解析していきます。

音の伝わり方

空気を圧縮したら密度はどうなるか

　では、位置 $x,x+\Delta x$ にピストンがあり空気が囲まれた状態を考えます。そして、左のピストンと右のピストンに力をかけて移動させます。この際の空気の密度変化を計算します。

ピストンに入っている空気を圧縮させる

　この際のピストンの変位を $y(x),y(x+\Delta x)$ と置きます。すると、移動後のピストン間の距離の差は

　 $\displaystyle\Delta x^{\prime}=\Delta x+y(x+\Delta x)-y(x)=\Delta x+\frac{dy}{dx}\Delta x$

となります。ここで $\Delta x$ は十分小さいとして、テイラー展開により二次以降の項を省略しています。以上のことより、空気の密度はピストンの面積を $S$ 、空気の質量を $\Delta m$ として

　 $\displaystyle\sigma(x)=\frac{\Delta m}{S\Delta x^{\prime}}=\frac{\Delta m}{S\Delta x}\left(1+\frac{dy}{dx}\right)^{-1}$

となります。ここで、 $\frac{dy}{dx}<<1$ とするとテイラー展開より

　 $\displaystyle\left(1+\frac{dy}{dx}\right)^{-1}\approx 1-\frac{dy}{dx}$

と近似できるので

　 $\displaystyle\sigma(x)=\frac{\Delta m}{S\Delta x}\left(1-\frac{dy}{dx}\right)=\sigma_{0}\left(1-\frac{dy}{dx}\right)$ ・・・(1)

が得られます。ここで $\sigma_{0}$ は初期状態での空気の密度です。この式はピストンで空気を膨張させたら空気の密度は小さくなり、逆にピストンで空気を圧縮させたら空気の密度は大きくなることをいっているだけです。当たり前のことですよね。

　では、続いて波動方程式を導いていきます。今、 $x$ と $x+\Delta x$ にある空気の質量を $\Delta m$ として、ピストン方向の運動方程式を立てると

　 $\displaystyle\Delta m\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=P(x)S-P(x+\Delta x)S=-\frac{dP}{dx}\Delta x S$ ,

　 $\displaystyle\Leftrightarrow \frac{d^{2}y}{dt^{2}}=-S\frac{\Delta x}{\Delta m}\frac{dP}{dx}$

となります。ここで、 $P(x)$ は位置 $x$ での圧力です。

　 $\Delta m=\sigma_{0}S\Delta x$

なので、

　 $\displaystyle\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=-\frac{1}{\sigma_{0}}\frac{dP}{dx}$ ・・・(2)

が成り立ちます。圧力が伝わる速さは熱が伝わる速さよりとても速いので、断熱過程だと考えることができて、ポアソンの公式

　 $TV^{\gamma -1}=constant=C$

と理想気体の状態方程式 $\displaystyle P=\frac{nRT}{V}$ を使って

　 $\displaystyle P=\frac{nR}{V}\frac{C}{V^{\gamma-1}}=\frac{nRC}{V^{\gamma}}$

となります。また、空気の質量は気体の分子量を $M$ とすれば、単位体積あたりの質量密度は

　 $\displaystyle\sigma=\frac{nM}{V}\Leftrightarrow V=\frac{nM}{\sigma}$

となることより

　 $\displaystyle P(\sigma)=\frac{nRC}{(nM)^{\gamma}}\sigma^{\gamma}=\alpha \sigma^{\gamma}$

となります。よって、 $\displaystyle\frac{dP}{dx}$ は式(1)を使って

　 $\displaystyle\frac{dP}{dx}=\frac{dP}{d\sigma}\sigma\frac{d\sigma}{dx}$ ←合成関数の微分

　 $\displaystyle=\alpha \gamma \sigma^{\gamma-1}\frac{d\sigma}{dx}$

　 $\displaystyle=\frac{\gamma}{\sigma}P\frac{d\sigma}{dx}$

　 $\displaystyle=\frac{\gamma}{\sigma}\frac{nRT}{V}\frac{d\sigma}{dx}$ ←状態方程式

　 $\displaystyle=\frac{\gamma RT}{M}\frac{d\sigma}{dx}$ ← $\displaystyle V=\frac{nM}{\sigma}$

　 $\displaystyle=-\frac{\sigma_{0}\gamma RT}{M}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ ←式(1)より

となります。よって、式(2)は

　 $\displaystyle\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=\frac{\gamma RT}{M}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$

となります。これが音の波動方程式です。音の伝わる速さは

　 $\displaystyle c=\sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$

となることがわかりますね。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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