ドップラー効果

カテゴリ：波動

　ここではドップラー効果について説明します。ドップラー効果は救急車が近くを通ると体感することができます。救急車がそばを通過した後と前では音の高さが違うと感じた方も多いのではないでしょうか？ここでは、なぜ音の高さが変わるのかについて考えます。

音の高さとは

　はじめに音の高さの違いは何かについて説明します。そのためある地点の空気密度の振動について観察します。すると高い音と低い音で山が出てくる周期が違うことがわかります。

音の高さの違い

横軸が時間で、縦軸が空気の密度です。赤が高い音で、青が低い音です。高い音では周期が低くなります。１秒あたりに届く山の数を周波数といい、周波数を $f$ とし、周期を $T$ とすると、

　 $\displaystyle f=\frac{1}{T}$

が成り立ちます。というのも、一秒あたりに届く山の数は「１割る周期」となるからです。よって、高い音とは周波数が高いということになります。

音源が移動する場合のドップラー効果

　いま、車にのった人がいて、ピストルを周期 $T$ でならしている状況を考えます。もし、車が止まっていれば、ピストルの音は周期 $T$ で聴こえます。周波数に直すと

　 $f=1/T$

となります。つまり、１秒あたり $f$ 回ピストルの音が聞こえます。

　では、車が速度 $V$ で遠ざかる場合を考えましょう。はじめのピストルを鳴らした点と観測者の距離を $r_{0}$ とし、音の伝わる速さを $c$ とします。すると、ピストルを鳴らして

　 $\displaystyle t_{0}=\frac{r_{0}}{c}$ ・・・(1)

に観測者はピストルの音が聞こえます。

次のピストルをならすのは開始から $T$ たったときなので、車は

　 $VT$

だけ観測者から離れています。よって、このピストルの音が観測者に聴こえるまで

　 $\displaystyle t_{1}=\frac{r_{0}+VT}{c}+T$ ・・・(2)

だけかかります。

　式(1)と(2)より観測者が聴こえるピストルの周期は

　 $\displaystyle T^{\prime}=t_{1}-t_{0}=\frac{VT}{c}+T=\frac{V+c}{c}T$

となり、周波数は逆数をとって

　 $\displaystyle f^{\prime}=\frac{c}{c+V}f$ ・・・(3)

となります。この式より、救急車が遠ざかると( $V>0$ )音が低く聴こえ、近づく( $V<0$ )と音が高く聴こえることがわかります。これがドップラー効果です。

観測者が近づく際のドップラー効果

　ではつづいて観測者が車にのって、ピストルを周期 $T$ でならしている人に速度 $v$ で近づいてみましょう。

まず、ピストルを一回目にならした点と観測者の距離を $r_{0}$ とすると

　 $\displaystyle vt_{0}+ct_{0}=r_{0}\Leftrightarrow t_{0}=\frac{r_{0}}{c+v}$

に観測者に音が聞こえます。そして、二回目にならした音は

　 $\displaystyle vt_{1}+c(t_{1}-T)=r_{0}\Leftrightarrow t_{1}=\frac{r_{0}+cT}{v+c}$

となります。よって周期は

　 $\displaystyle T^{\prime}=t_{1}-t_{0}=\frac{c}{c+v}T$

となり、周波数は

　 $\displaystyle f^{\prime}=\frac{c+v}{c}f$ ・・・(4)

となります。この結果より、音源に近づいていくと音が高くなることがわかります。

ドップラー効果のまとめ

　観測者の速度を $v$ 、音源の速度を $V$ とし、音源の音の周波数を $f$ とすれば、観測者が聴こえる音の周波数は式(3)と(4)より

　 $\displaystyle f^{\prime}=\frac{c}{c+V}\frac{c+v}{c}f=\frac{c+v}{c+V}f$

となります。この式のように、音源や私たちが相対的に移動していると、音が高く聞こえたり低く聞こえたりします。救急車のサイレンの場合によく体験するので、今度救急車が通り過ぎるときは音の高さに集中してきいてみてください。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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