二階の線形微分方程式

二階の線形微分方程式

　 $\displaystyle a\frac{d^{2}f}{dx^{2}}+b\frac{df}{dx}+cf=0$ ・・・(1)

を解いていきます。今回の方程式はバネとダンパー（空気抵抗）がついた質点の運動方程式となります。この方程式は方程式の解を $f_{1},f_{2}$ とすると

　 $\displaystyle a\frac{d^{2}}{dx^{2}}(C_{1}f_{1}+C_{2}f_{2})+b\frac{d}{dx}(C_{1}f_{1}+C_{2}f_{2})+c(C_{1}f_{1}+C_{2}f_{2})$

　 $\displaystyle=aC_{1}\frac{d^{2}f_{1}}{dx^{2}}+aC_{2}\frac{d^{2}f_{2}}{dx^{2}}+bC_{1}\frac{df_{1}}{dx}+bC_{2}\frac{df_{2}}{dx}+cC_{1}f_{1}+cC_{2}f_{2}$

　 $\displaystyle=C_{1}\left(a\frac{d^{2}f_{1}}{dx^{2}}+b\frac{df_{1}}{dx}+cf_{1}\right)+C_{2}\left(a\frac{d^{2}f_{2}}{dx^{2}}+b\frac{df_{2}}{dx}+cf_{1}\right)$

　 $=C_{1}0+C_{2}0=0$

となり、 $C_{1}f_{1}+C_{2}f_{2}$ も解となるので線形微分方程式です。よって、微分方程式(1)の解を二つ見つければいいことになります。そこで、 $f(x)=e^{\lambda x}$ を(1)に代入すると

　 $(a\lambda ^{2}+b\lambda+c) f(x)=0$

となるので、

　 $a\lambda ^{2}+b\lambda+c=0$

となる $\lambda$ なら $f(x)=e^{\lambda}$ が微分方程式(1)の解となりそうです。二次方程式の解の公式より

　 $\displaystyle\lambda =\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

なので、

実数解が二つある場合、 $b^{2}-4ac>0$
実数解が一つある場合、 $b^{2}-4ac=0$
複素数解が二つある場合、 $b^{2}-4ac<0$

にわけて考えればよさそうです。

【１】実数解が二つある場合

この場合は実数解を $\alpha_{1},\alpha_{2}$ とすれば

　 $f(x)=C_{1}e^{\alpha_{1} x}+C_{2}e^{\alpha_{2}}$

が微分方程式(1)の解となります。

【２】実数解が一つある場合

　この場合は一つの解を $\alpha$ と置くと $f_{1}(x)=e^{\alpha x}$ とすればいいのですが、もう一つ解が必要となります。そこで頑張っていろいろな関数で試すと

　 $f_{2}=xe^{\alpha x}$

がいいことがわかります。実際に微分方程式(1)に代入すると

　 $\displaystyle a\frac{d^{2}}{dx^{2}}(xe^{\alpha x})+b\frac{d}{dx}(xe^{\alpha x})+cxe^{\alpha x}$

　 $=a\left( 2\alpha e^{\alpha x}+\alpha^{2}xe^{\alpha x}\right)+b\left( e^{\alpha x}+\alpha xe^{\alpha x}\right)+cxe^{\alpha x}$

　 $=\left( 2a\alpha +b\right) e^{\alpha x}+(a\alpha^{2}+b\alpha +c)xe^{\alpha x}$

　 $=\left( 2a\alpha +b\right) e^{\alpha x}$

ここで、

　 $\displaystyle\alpha=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=-\frac{b}{2a}$

なので、

　 $\displaystyle a\frac{d^{2}}{dx^{2}}(xe^{\alpha x})+b\frac{d}{dx}(xe^{\alpha x})+cxe^{\alpha x}$

　 $=\left( 2a\alpha +b\right) e^{\alpha x}$

　 $=\left(-2a\frac{b}{2a}+b\right) e^{\alpha x}$

　 $=\left( -b+b\right)e^{\alpha x}=0$

となります。よって、 $f_{2}(x)=xe^{\alpha x}$ も微分方程式(1)の解となります。よって

　 $f(x)=C_{1}e^{\alpha x}+C_{2}xe^{\alpha x}$

が一般解となります。

【３】複素数解が二つある場合

この場合は複素数解を $\alpha +i\beta,\alpha-i\beta$ と置けば

　 $f(x)=C_{1}e^{(\alpha +i\beta) x}+C_{2}e^{(\alpha -i\beta) x}$

が解となります。ただ、指数に虚数が入ると奇妙なので虚数を排除します。そこで

　 $f(x)=\left(C_{1}e^{i\beta x}+C_{2}e^{-i\beta x}\right) e^{\alpha x}$

と式変形しオイラーの公式 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ を使うと

　 $f(x)=\left(C_{1}(\cos \beta x+i\sin \beta x)+C_{2}(\cos (-\beta x)+i\sin (-\beta x))\right) e^{\alpha x}$

　 $=\left(C_{1}(\cos \beta x+i\sin \beta x)+C_{2}(\cos \beta x-i\sin \beta x)\right) e^{\alpha x}$

　 $=\left((C_{1}+C_{2})\cos \beta x +i(C_{1}-C_{2})\sin \beta x \right) e^{\alpha x}$

となります。ここで、 $A=C_{1}+C_{2},B=i(C_{1}-C_{2})$ と置けば

　 $f(x)=(A\cos \beta x +B\sin \beta x)e^{\alpha x}$

となります。これが解となります。

最後に

　長くなりましたが以上で二階の線形微分方程式の解き方の解説をおわります。基本的には $f(x)=e^{\lambda x}$ を代入して二次方程式にし解を求めます。その後、重解なら $e^{\alpha x},xe^{\alpha x}$ 、複素数解ならオイラーの公式を使って指数から虚数をとることを押さえておきましょう。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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