合成関数の微分
カテゴリ:微分積分

関数の中にさらに関数があるようなものを合成関数といいます。
例えば、のように2次関数の中に
という関数があるとみれば合成関数となります。
ここではこのような合成関数の微分方法について解説します。
合成関数の微分
関数において、
を
で微分することを考えます。
uの変化
まず、が微少量
変わったとします。すると
の変化は
・・・(1)
となります。
yの変化
次に、の変化
は
・・・(2)
となります。また、式(1)よりのオーダーは
のオーダーと等しくなるので
・・・(3)
となります。
まとめ
式(3)に式(1)を代入すれば、
となり、両辺をでわり極限をとれば
・・・(4)
となります。この式が合成関数の微分の公式です。
合成関数の微分
関数において
が成り立つ。
では問題を解いていきましょう。
以下の関数の微分をせよ。
この場合、を関数
と見立てて合成関数の微分公式を使います。
今回は文字でおきましたが、慣れてきたら
といきなり微分すればOKです。
商の微分
では、合成関数の微分公式を使って以下の微分公式を導いてみましょう。
商の微分
まず積の微分公式より
が得られます。次に合成関数の微分より
となるので
が得られます。
著者:安井 真人(やすい まさと)
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