合成関数の微分

カテゴリ：微分積分

関数の中にさらに関数があるようなものを合成関数といいます。

例えば、 $(x+1)^{2}$ のように2次関数の中に $x+1$ という関数があるとみれば合成関数となります。

ここではこのような合成関数の微分方法について解説します。

合成関数の微分

関数 $y=y(u),u=u(x)$ において、 $y$ を $x$ で微分することを考えます。

uの変化

まず、 $x$ が微少量 $\Delta x$ 変わったとします。すると $u$ の変化は

　 $\Delta u=u(x+\Delta x)-u(x)$

　 $\displaystyle=u(x)+\frac{du}{dx}\Delta x+O((\Delta x)^{2})-u(x)$

　 $\displaystyle=\frac{du}{dx}\Delta x+O((\Delta x)^{2})$ ・・・(1)

となります。

yの変化

次に、 $y$ の変化 $\Delta y$ は

　 $\displaystyle\Delta y=y(u+\Delta u)-y(u)=\frac{df}{du}\Delta u +O((\Delta u)^{2})$ ・・・(2)

となります。また、式(1)より $\Delta u$ のオーダーは $\Delta x$ のオーダーと等しくなるので

　 $\displaystyle\Delta y=\frac{df}{du}\Delta u +O((\Delta x)^{2})$ ・・・(3)

となります。

まとめ

式(3)に式(1)を代入すれば、

　 $\displaystyle\Delta y=\frac{dy}{du}\left(\frac{du}{dx}\Delta x+O((\Delta x)^{2})\right)+O((\Delta x)^{2})$

　 $\displaystyle=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\Delta x +\frac{dy}{du}O((\Delta x)^{2})+O((\Delta x)^{2})$

となり、両辺を $\Delta x$ でわり極限をとれば

　 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$

　 $\displaystyle=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}+\left(\frac{dy}{du}+1\right)\frac{O((\Delta x)^{2})}{\Delta x}$

　 $\displaystyle=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$ ・・・(4)

となります。この式が合成関数の微分の公式です。

合成関数の微分

関数 $y=y(u),u=u(x)$ において

　 $\displaystyle=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$

が成り立つ。

では問題を解いていきましょう。

以下の関数の微分をせよ。

　 $f(x)=(2x+1)^{10}$

この場合、 $2x+1$ を関数 $u$ と見立てて合成関数の微分公式を使います。

　 $\displaystyle\frac{df}{dx}=\frac{d}{dx}(2x+1)\frac{d}{du}u^{10}\\=20u^{9}\\=20(2x+1)^{9}$

今回は文字 $u$ でおきましたが、慣れてきたら

　 $\displaystyle\frac{d}{dx}(2x+1)^{10}=(2x+1)^{\prime}10(2x+1)^{9}\\=20(2x+1)^{9}$

といきなり微分すればOKです。

商の微分

では、合成関数の微分公式を使って以下の微分公式を導いてみましょう。

商の微分

　 $\displaystyle\frac{d}{dx}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{(g(x))^{2}}$

まず積の微分公式より

　 $\displaystyle\frac{d}{dx}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1}{g(x)}\frac{d}{dx}f(x)+f(x)\frac{d}{dx}\frac{1}{g(x)}$

が得られます。次に合成関数の微分より

　 $\displaystyle\frac{d}{dx}\frac{1}{g(x)}=g^{\prime}\frac{d}{du}\frac{1}{u}\\=-\frac{g^{\prime}}{u^{2}}\\=-\frac{g^{\prime}}{g^{2}}$

となるので

　 $\displaystyle\frac{d}{dx}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1}{g(x)}f^{\prime}(x)-f(x)\frac{g^{\prime}}{g^{2}}=\frac{f^{\prime}g-fg^{\prime}}{g^{2}}$

が得られます。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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