関数の増減

カテゴリ：微分積分

微分法は、接線の計算だけでなく、関数をグラフにかく際に便利です。

ここでは、単調増加と単調減少について解説して、関数の増減を微分で調べる方法を紹介します。

単調増加と単調減少

はじめに単調増加と単調減少の意味を説明します。

まず、単調増加の定義です。

単調増加

関数 $f(x)$ で、ある区間の任意の値、 $u,v$ について

　 $u<v\Rightarrow f(u)<f(v)$

が成り立つとき $f(x)$ はその区間で単調に増加するという。

では続いて単調減少の定義です。

単調減少

関数 $f(x)$ で、ある区間の任意の値、 $u,v$ について

　 $u<v\Rightarrow f(u)>f(v)$

が成り立つとき $f(x)$ はその区間で単調に増加するという。

単調増加と単調減少は簡単にいうと

右肩あがりならば、単調増加
右肩さがりならば、単調増加

となります。グラフを書けば単調増加かどうかはすぐにわかります。

単調増加の例として

　 $f(x)=x^{2},0<x<1$

があげられます。

実際に区間の任意の値 $u,v$ について

　 $u<v\Rightarrow f(u)<f(v)$

がなりたちます。一方、

　 $f(x)=x^{2},-1<x<1$

の場合だと、

$-0.1,0$ とすると

　 $f(-0.1)=0.01,f(0)=0$

なので $f(-0.1)<f(0)$ が成り立たないので単調増加ではありません。

微分係数と単調増加と単調減少の関係

単調増加・単調減少と微分係数にはある関係があります。それが以下の定理です。

単調さと微分係数

ある区間で

常に $f^{\prime}(x)>0$ ならば、 $f(x)$ はその区間で単調に増加する

常に $f^{\prime}(x)<0$ ならば、 $f(x)$ はその区間で単調に減少する

常に $f^{\prime}(x)=0$ ならば、 $f(x)$ はその区間で一定である

まず、区間から任意に $u<v$ を選びます。そして $f^{\prime}(x)>0$ なら、ある正数 $h>0$ で

　 $\displaystyle\frac{f(u+h)-f(u)}{h}>0\Rightarrow f(u+h)>f(u)$

が成り立ちます。これを $v$ まで続けていけば

　 $f(v)>\cdots>f(u+h)>f(u)$

が成り立ちます。よって、 $f(x)$ は単調増加となります。

単調減少も同様に証明できます。

一方、 $f^{\prime}(x)=0$ の場合も同様にして、

　 $f(v)=\cdots=f(u+h)=f(u)$

とすることで証明できます。

この公式を使うことで、どの区間では関数が右肩上がりであるかがわかります。

この公式により、微分係数の値から関数のおおよその形を理解できるので便利です。

常に増加する関数は単調増加関数
常に減少する関数は単調減少関数
微分係数で単調増加か減少かがわかる

著者：安井真人(やすい　まさと)
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