微分を使って最大値を求める

カテゴリ：微分積分

最大値や最小値を知りたいことがよくあります。

  • 会社の利益を最大にしたい
  • 自分の時間を有効に使いたい
  • 無駄を省きたい

など最適化が必要となる問題が日常によくあります。

そんなときに、微分法が役に立ちます。

微分法により山のてっぺんがわかるので、最適な値がわかるのです。

 

では、実際に微分法を使って最適値を計算してみましょう。

長方形があります。周囲がlと一定にした際に面積が最大となるように辺a,bを求めよ。

とりあえずはじめに面積Sを計算します。辺がそれぞれa,bなので

　S=ab

となります。また、周囲がlなので

　2a+2b=l

となります。ゆえに、面積は

　\displaystyle S(a)=\frac{a}{2}\left(l-2a\right)

ともとまります。二次関数で凸型なので、どこかにてっぺんがあるはずです。そこで、aで微分します。すると

　\displaystyle\frac{dS}{da}=\frac{1}{2}\left(l-2a\right)+\frac{a}{2}(-2)=\frac{l}{2}-2a

が得られます。この値が0のとき極値をとるので

　\displaystyle a=\frac{l}{4}

のとき、面積が最大となります。

 

要するに、正方形のときに面積が最大となることがわかりました。

 

 

この問題のように、最適値を求める際は微分が使えます。

 

著者：安井 真人(やすい　まさと)

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