不定積分の性質

カテゴリ：微分積分

不定積分は微分と同様に線形性という性質があります。

ここでは、この線形性について解説して、線形性を使って問題を解いていきます。

不定積分には以下のような性質があります。

線形性

　 $\displaystyle\int kf(x)dx=k\int f(x)dx\\ \int(f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x) dx$

この線形性を使えば、

　 $\displaystyle\int (2x+1)dx=2\int x +\int dx=x^{2}+x+C$

と計算することができます。

関数 $f(x),g(x)$ の不定積分の一つをそれぞれ $F(x),G(x)$ とします。すると、

　 $F^{\prime}(x)=f(x)\\ G^{\prime}(x)=g(x)$

なので、 $k$ を実数とすれば

　 $(kF(x))^{\prime}=kF^{\prime}(x)=kf(x)\\ (F(x)+G(x))^{\prime}=F^{\prime}(x)+G^{\prime}(x)=f(x)+g(x)$

となります(ここで微分の線形性を利用しています)。

以上のことから、 $kF(x)$ と $F(x)+G(x)$ はそれぞれ $kf(x)$ と $f(x)+g(x)$ の不定積分となっていることがわかります。

次の不定積分を求めよ。

(1)

　 $\displaystyle\int(2t+1)(2t-1)dt\\=\int 4t^{2}-1dt\\=4\int t^{2}dt-\int dt\\=\frac{4}{3}t^{3}-t+C$

(2)

　 $\displaystyle\int \cos x+\sin x dx\\=\int\cos xdx+\int\sin x dx\\=\sin x-\cos x+C$

著者：安井真人(やすい　まさと)
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