微分の公式

カテゴリ：微分積分

微分を簡単に計算できるように公式をいくつか導きます。

どういう公式かというと、関数の和や積を簡単に計算する公式です。

これらの公式は微分の計算でよく使用するので、使えるようになっておきましょう。

微分の公式１「線形性」

まず

　 $\displaystyle\frac{d}{dx}\left(af(x)+bg(x)\right)$

を計算します。ここで $a,b$ は定数です。

　 $\displaystyle\frac{d}{dx}\left(af(x)+bg(x)\right)\\=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{af(x+\Delta x)+bg(x+\Delta x)-af(x)-bg(x)}{\Delta x}\\=\lim_{\Delta x\to 0}a\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}+b\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\\=a\frac{df}{dx}+b\frac{dg}{dx}$

となるので、以下の公式が成り立ちます。

線形性

関数 $f(x),g(x)$ が微分可能で導関数がそれぞれ $\displaystyle\frac{df}{dx},\frac{dg}{dx}$ となるとき

　 $\displaystyle\frac{d}{dx}\left(af(x)+bg(x)\right)=a\frac{df}{dx}+b\frac{dg}{dx}$

が成り立つ。これを微分の線形性という。

ではこの線形性を使って問題を解いてみましょう。

以下の微分を計算せよ

　 $\displaystyle\frac{d}{dx}(x+2x^{2})$

　 $\displaystyle\frac{d}{dx}(x+2x^{2})\\=\frac{d}{dx}x+2\frac{d}{dx}x^{2}\\=1+2(2x)\\=1+4x$

ここで、冪関数の微分公式

　 $\displaystyle\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$

を用いました。（詳細はこの記事を参照）

微分の公式２「積の微分」

先程は関数の和に関数公式でした。次は関数の積の微分

　 $\displaystyle\frac{d}{dx}f(x)g(x)$

を計算します。すると

　 $\displaystyle\frac{d}{dx}f(x)g(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}\\=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}\\=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)}{\Delta x}+\frac{f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}\\=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}g(x+\Delta x)+f(x)\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\\=\frac{df}{dx}g+f\frac{dg}{dx}$