三角関数の微分

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　三角関数sin,cos,tanも微分することができます。ここでは、三角関数の微分がどのようになるかを計算します。そして、三角関数の微分公式を導きます。

三角関数の微分

　では、 $f(x)=\sin x$ の微分を考えます。

三角関数を微分する前に

$f(x)=\sin x$ の微分を行うために、以下の公式を証明します。

三角関数の極限

　 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

【正から近づける】

まず、下のような図形を考えます。

この図より、面積について

　 $\triangle OAB <$ 扇形 $OAB<\triangle OCA$

が成り立つことがわかります。よって

　 $\displaystyle\frac{1}{2}\times 1\times \sin \theta <\pi \times 1\times 1\times \frac{\theta}{2\pi}<\frac{1}{2}\times 1\times \tan \theta\\\Leftrightarrow \sin \theta <\theta <\tan \theta$ ,

となります。 $\sin \theta>0,\theta >0$ なので、両辺を $\sin \theta$ を割ると

　 $\displaystyle 1<\frac{\theta}{\sin\theta}<\frac{1}{\cos \theta}\\\Leftrightarrow 1>\frac{\sin\theta}{\theta}<\cos\theta$

となります。これに極限 $\theta\to 0$ をとれば

　 $\displaystyle 1>\lim_{\theta \to +0}\frac{\sin\theta}{\theta}>\lim_{\theta\to +0}\cos \theta=1\\\Leftrightarrow \lim_{\theta \to +0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1$

となることがわかります。

【負から近づける】

さきほどは $\theta>0$ から近づけましたが、次に $\theta<0$ から近づけてみます。そこで

　 $x=-\theta>0$

とおくと

　 $\displaystyle\lim_{x \to +0}\frac{\sin x}{x}=1\\\Leftrightarrow \lim_{\theta \to -0}\frac{\sin (-\theta)}{-\theta}=1\\\Leftrightarrow \lim_{\theta \to -0}\frac{-\sin \theta}{-\theta}=1\\\Leftrightarrow \lim_{\theta \to -0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1$

となり、負から近づけても成り立つことがわかります。以上で証明は終了です。

sin(サイン)を微分する

　では次に三角関数の微分をします。

　 $\displaystyle\frac{d}{dx}\sin x=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sin (x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}$

　 $\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\sin x \cos \Delta x +\cos x \sin \Delta x -\sin x}{\Delta x}$ ←加法定理 $\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$ ,

　 $\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\cos\Delta x-1}{\Delta x}\sin x+\cos x\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}$

ここで、

　 $\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\cos\Delta x-1}{\Delta x}$

　 $\displaystyle=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{(1+\cos\Delta x)(\cos\Delta x-1)}{(1+\cos\Delta x)\Delta x}$

　 $\displaystyle=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\cos^{2}\Delta x-1}{(1+\cos\Delta x)\Delta x}$ ←展開の公式 $(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}$

　 $\displaystyle=\lim_{\Delta x\to 0} -\frac{\sin^{2}\Delta x}{(1+\cos\Delta x)\Delta x}$ ←公式 $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$

　 $\displaystyle=\lim_{\Delta x\to 0} -\left(\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\right)^{2}\frac{\Delta x}{1+\cos\Delta x}$

　 $\displaystyle=\lim_{\Delta x\to 0}-1^{2}\frac{0}{1+1}$ ← $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

　 $=0$

より

　 $\displaystyle\frac{d}{dx}\sin x=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\cos\Delta x-1}{\Delta x}\sin x+\cos x\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}=\cos x$

となります。

cos(コサイン)を微分する

次に $f(x)=\cos x$ の微分を考えます。

　 $\displaystyle\frac{d}{dx}\cos x=\frac{d}{dx}\sin\left( x+\frac{1}{2}\right)=\cos \left(x+\frac{1}{2}\right)\times \frac{d}{dx}\left( x+\frac{1}{2}\right)=-\sin x$