対数の底の変換

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対数\log_{a}Mのaを底(てい)と呼びます。

　\log_{3}4\log_{4}27

のような計算を考える際、底が3,4とそろっていないので計算がしづらいです。

そこで、底を変換したいというニーズが生じます。

ここでは、対数の底を変換する方法について説明します。

 底の変換公式

いま対数\log_{a}bの底aをcへ変換したいとします。

そこでとりあえず、対数の定義より

　a^{\log_{a}b}=b・・・(1)

とかいておきます。また、底をcでかきたいので

　c^{\log_{c}a}=a \\ c^{\log_{c}b}=b・・・(2)

も書いておきます。(2)を(1)に代入すると

　\left( c^{\log_{c}a }\right) ^{\log_{a}b}=c^{\log_{c}b}

となり、指数法則\left( a^{n}\right)^{m}=a^{nm}より

　\displaystyle c^{\log_{c}a\log_{a}b}=c^{\log_{c}b} \\ \Leftrightarrow \log_{c}a\log_{a}b=\log_{c}b \\ \Leftrightarrow \log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}

が成り立ちます。よって

対数の底の変換

　\displaystyle\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}

を使用することで底を自由に変換できます。

以下の計算をせよ。

　\log_{3}4\log_{4}27

まず、底を3に統一するため、\log_{4}27の底を3へ変換します。すると

　\displaystyle\log_{4}27=\frac{\log_{3}27}{\log_{3}4}=\frac{\log_{3}3^{3}}{\log_{3}4}=\frac{3\log_{3}3}{\log_{3}4}=\frac{3}{\log_{3}4}

となります。ここで、公式\log _{a}M^{k}=k\log _{a}Mと\log_{a}a=1を使いました。よって

　\displaystyle\log_{3}4\log_{4}27=\log_{3}4\frac{3}{\log_{3}4}=3

となります。

 よく使う底

底の変換がわかったところで、よく使う底について紹介します。

よく使う底の値としては

  1. 2
  2. 10
  3. e=2.71828\ldots

があります。

ネイピア数

ここでeはネイピア数と呼ばれており、頻繁に底として使われており

　\log_{e}x=\ln x

という専門の記号\lnで簡単に書くことができます。

ネイピア数の詳しい説明は微分のところで行います。。

 パソコンでよく使う「2」

次によく使う底は2です。

コンピュータはonとoffで記憶するので2がキーワードになってきます。

そのため、コンピュータなどの情報分野では\log_{2}xがよく使われます。

 十進数で重要な「10」

最後の底が10です。

底が10だと桁を計算する際に便利ですが、あまり使う機会はないと思います。また、

　\log_{10}x=\log x

と省略して書く場合があります。ただし、

　\log x

と表記された場合、\log x=\log_{e} xという意味で使う場合があるので書籍を読む際は注意してください(たいていは\log x=\log_{e}xで使われることが多い)。

  • 対数の底の変換は\displaystyle\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}でできる
  • 底としてe,2,10がよく使われる

著者：安井 真人(やすい　まさと)

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