累乗根

カテゴリ：文字式

平方根は二乗したらある値になる数でした。

では、３乗したらある値になる数もあってもいいのでは、と考えたのが累乗根です。

ここでは累乗根の定義と性質、計算方法について解説します。

では、累乗根の定義から紹介します。

累乗根

$n$ 乗すると $a$ になる数を

とかき $a$ の $n$ 乗根と呼ぶ。ここで、 $n$ は自然数である。

-8の３乗根は、-2の３乗が-8なので

　 $\sqrt[3]{-8}=-2$

となります。

累乗根に関しても平方根と同様にいくつか公式があります。

しかし、いかに述べるように累乗根を指数表示すれば、指数で計算を進めることができるのでここでは省略します。

累乗根は指数を使って表すことができます。

累乗根の指数表記と有理数の指数

累乗根は

　 $\sqrt[n]{a}=a^{1/n}$

のように指数で表記できる。また、有理数の指数は

　 $a^{m/n}=(\sqrt[n]{a})^{m}$

と定義する。ここで、 $m$ は整数である。

以上のことから

というようにすれば計算を簡単にすすめることができます。

もちろん、指数法則も使用できます。

以下の計算をせよ。

　 $\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{81}$

　 $\sqrt[3]{81}=81^{1/3}=3^{4/3}=3\times 3^{1/3}$

なので、

　 $\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{81}\\=3^{1/3}+3\times 3^{1/3}\\=4\cdot 3^{1/3}\\=4\sqrt[3]{3}$

となります。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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