複素数の極形式

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　座標には直角座標の他に、極座標がありました。これと同様に複素数も極座標のような方法で記述できます。それが極形式です。ここでは、複素数の極形式表示について解説します。

複素数の極形式

　平面上の点は原点からの距離 $r$ とx座標との角度 $\theta$ により

　 $(r\cos\theta,r\sin\theta)$

と表示できます。複素数においても、任意の複素数を

　 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$

で表現できます。これが極形式です。定義を以下にまとめます。

極形式

任意の複素数は

　 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$

により記述できる。ここで、 $r\geq 0,0\leq\theta<2\pi$ である。これを複素数の極形式と呼び、 $\theta$ を偏角といい

　 $\theta=\arg z$

と記述する。

例えば、

　 $z=1+i$

なら、

　 $r=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$

となり

　 $\displaystyle\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}},\sin\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$

なので

　 $\theta=45^{\circ}$

となります。よって

　 $z=\sqrt{2}(\cos 45^{\circ}+i\sin 45^{\circ})$

が極形式となります。

極形式での乗法と除法

極形式では乗法と除法に対して以下の公式が成り立ちます。

極形式の乗法と除法

$z_{1}=r_{1}(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1}),z_{2}=r_{2}(\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2})$ のとき

【乗法】

　 $z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2}))$

　 $|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|$

　 $\arg(z_{1}z_{2})=\arg z_{1}+\arg z_{2}$

【除法】

　 $\displaystyle\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}(\cos(\theta_{1}-\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}-\theta_{2}))$

　 $\displaystyle\left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right|=\frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}$

　 $\displaystyle\arg\frac{z_{1}}{z_{2}}=\arg z_{1}-\arg z_{2}$

が成り立つ。

まず、

　 $z_{1}=r_{1}(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1}),\\z_{2}=r_{2}(\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2})$

とします。すると、加法定理を使って

　 $z_{1}z_{2}=r_{1}(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1})r_{2}(\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2})\\=r_{1}r_{2}(\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}-\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}+i(\sin\theta_{1}\cos\theta_{2}+\cos\theta_{1}\sin\theta_{2}))\\=r_{1}r_{2}(\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2}))$

となります。よって、

　 $|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|$

　 $\arg(z_{1}z_{2})=\arg z_{1}+\arg z_{2}$

が得られます。

除法に関しても加法定理を使い

　 $\displaystyle\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1})}{r_{2}(\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2})}\\=\frac{r_{1}(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1})(\cos\theta_{2}-i\sin\theta_{2})}{r_{2}}\\=\frac{r_{1}(\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}+\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}+i(\sin\theta_{1}\cos\theta_{2}-\cos\theta_{1}\sin\theta_{2}))}{r_{2}}\\=\frac{r_{1}}{r_{2}}(\cos(\theta_{1}-\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}-\theta_{2}))$

より

　 $\displaystyle\left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right|=\frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}$

　 $\displaystyle\arg\frac{z_{1}}{z_{2}}=\arg z_{1}-\arg z_{2}$

が得られます。

複素数の乗法と回転

先ほどの公式

　 $z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2}))$

からわかるように

　 $r(\cos\theta+i\sin\theta)$

をかけることは

長さ方向に $r$ 倍する
$\theta$ だけ回転する

という操作になります。

点 $(1,1)$ から原点を中心に反時計回りに30°回転させた点を求めよ。

まず、(1,1)は複素数平面で

　 $1+i$

になります。そして、

　 $\displaystyle\cos 30^{\circ}+i\sin 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}$

をかければ30°回転するので

　 $\displaystyle (1+i)(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2})\\=\frac{\sqrt{3}-1}{2}+i\left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$

より $\displaystyle\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$ が解となります。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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