ド・モアブルの定理

カテゴリ：複素数

　複素数は極座標表示にすると簡単にｎ乗を計算することができます。それがド・モアブルの定理という複素数における基本的な定理です。ここでは、このド・モアブルの定理について解説します。また、ド・モアブルの定理を使って１のn乗根の計算を行います。

ド・モアブルの定理とは以下の様な定理です。

ド・モアブルの定理

$n$ が整数のとき

　 $(\cos\theta +i\sin\theta)^{n}=\cos n\theta+i\sin n\theta$

が成り立つ。これをド・モアブルの定理という。

複素数の積は回転なので $n$ 乗は $n$ 回転させることになります。

よって、ド・モアブルの定理が成り立ちます。

ではド・モアブルの定理を使って1のn乗根を計算してみましょう。いま、1のn乗根を

　 $z=r(\cos\theta +i\sin\theta)$

とします。ここで、 $r$ はゼロ以上の実数で、 $\theta$ は $0\leq\theta<2\pi$ です。すると

　 $z^{n}=1$

であり $r$ はゼロ以上より

　 $r^{n}=1\\\Leftrightarrow r=1$

となります。よって

　 $(\cos\theta +i\sin\theta)^{n}\\=\cos n\theta +i\sin n\theta=1$

が得られます。ゆえに

　 $\displaystyle n\theta=2\pi m\\\Leftrightarrow \theta=\frac{2\pi m}{n},(m\in\mathbb{Z})$

となります。ここで、

　 $0\leq\theta<2\pi$

なので

　 $\displaystyle\theta=\frac{2\pi m}{n},(m=0,1,2,\cdots,n-1)$

が解となります。

著者：安井真人(やすい　まさと)
@yasui_masatoさんをフォロー