複素数の四則演算

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　複素数は実数を拡張したものなので当然のように四則演算が定義できます。ここでは複素数の足し算、引き算、掛け算、割り算について学びます。そして、実際に複素数の四則演算をして計算できるようにしていきます。

複素数の四則演算

ここで二つの複素数を

　 $c_{1}=a_{1}+b_{1}i,c_{2}=a_{2}+b_{2}$

とします。

足し算と引き算

　そして、足し算と引き算に関しては以下のように定義します。

複素数の足し算と引き算

　 $(a_{1}+b_{1}i)+(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})i$

　 $(a_{1}+b_{1}i)-(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}-a_{2})+(b_{1}-b_{2})i$

　 $(1+i)+(2-i)\\=(1+2)+(1-1)i\\=3,\\(1+i)-(2-i)\\=(1-2)+(1-(-1))i\\=-1+2i$

例からわかるように

　 $(1+i)-(2-i)\\=1+i-2+i\\=-1+2i$

と分配法則を用いて計算してもかまいません。

掛け算と割り算

　さて、掛け算に関しては以下のように定義します。

複素数の掛け算

　 $(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)\\=a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}i^{2}+a_{1}b_{2}i+a_{2}b_{1}i\\=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+i(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})$

ふつうに展開すればOKです。

　 $(1+i)(1+2i)\\=1+2i+i+2i^{2}\\=1+3i-2\\=-1+3i$

　割り算では分母の虚数を消すことで計算します。

複素数の割り算

　 $\displaystyle\frac{a_{1}+b_{1}i}{a_{2}+b_{2}i}\\=\frac{(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}-b_{2}i)}{(a_{2}+b_{2}i)(a_{2}-b_{2}i)}\\=\frac{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2})i}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}\\=\frac{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+i\frac{a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}$