オイラーの公式
カテゴリ:複素数

複素数へ実数を拡張することで、指数関数と三角関数にあるきれいな関係性があることを導けます。この関係性はオイラーの公式と呼ばれ、複素数を使用する場面で頻繁に使用します。ここでは、このオイラーの公式を、指数関数と三角関数をテイラー展開することにより導きます。
オイラーの公式を導く
以前、微分のときにテイラー展開を紹介しました。テイラー展開とは関数をn次関数で近似する方法のことです。指数関数、三角関数
をテイラー展開すると
,
となります。ここで、を計算すると
となります。以上をまとめると以下のようになります。
オイラーの公式
関係式
をオイラーの公式と呼ぶ。
例えば、を代入すると
となります。ネイピア数と円周率にはきれいな関係性があることがわかります。
著者:安井 真人(やすい まさと)
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