オイラーの公式

カテゴリ：複素数

　複素数へ実数を拡張することで、指数関数と三角関数にあるきれいな関係性があることを導けます。この関係性はオイラーの公式と呼ばれ、複素数を使用する場面で頻繁に使用します。ここでは、このオイラーの公式を、指数関数と三角関数をテイラー展開することにより導きます。

オイラーの公式を導く

　以前、微分のときにテイラー展開を紹介しました。テイラー展開とは関数をn次関数で近似する方法のことです。指数関数 $e^{x}$ 、三角関数 $\sin x,\cos x$ をテイラー展開すると

　 $\displaystyle e^{x}=1+x+\frac{1}{2!}x^{2}+\ldots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$ ,

　 $\displaystyle\sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+\ldots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}\\\cos x=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\ldots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}$

となります。ここで、 $e^{ix}$ を計算すると

　 $\displaystyle e^{x}\\=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^{n}}{n!}\\=\sum_{n=0}^{\infty}i^{n}\frac{x^{n}}{n!}\\=\sum_{n=0}^{\infty}i^{2n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\sum_{n=0}^{\infty}i^{2n+1}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\=\cos x+i\sin x$