二次方程式の解の公式

カテゴリ：方程式

ここでは、二次方程式

　 $ax^{2}+bx+c=0,a\neq 0$

の解を導きます。

２次方程式の解の公式を導く

２次方程式の解は以下のようになっています。

２次方程式の解の公式

　 $\displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

前回

　 $ax^{2}+c=0$ ・・・(1)

の解が

　 $\displaystyle x=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}},-\frac{c}{a}\geqq 0$

となることがわかりました。よって、 $ax^{2}+bx+c=0$ を変形して

　 $ax^{2}+c=0$

の形にすればいいことがわかります。

そこで、はじめに $a$ を割って、

　 $\displaystyle x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$ ・・・(2)

とします。次に

　 $(x+A)^{2}=x^{2}+2Ax+A^{2}=0$

に着目して、

　 $\displaystyle 2A=\frac{b}{a}$

とすれば

　 $\displaystyle \left( x+\frac{b}{2a} \right) ^{2}=x^{2}+\frac{b}{a}x+\left( \frac{b}{2a} \right) ^{2}\\ \Leftrightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x=\left( x+\frac{b}{2a} \right) ^{2}-\left( \frac{b}{2a} \right)^{2}$

となるので式(2)は

　 $\displaystyle \left( x+\frac{b}{2a} \right)^{2}-\left( \frac{b}{2a} \right)^{2}+\frac{c}{a}=0 \\ \Leftrightarrow \left( x+\frac{b}{2a} \right)^{2}=\left( \frac{b}{2a} \right)^{2}-\frac{c}{a}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$

となります。

これは式(1) $ax^{2}+c=0$ と同じ形なので

　 $\displaystyle x+\frac{b}{2a}=\pm \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}} \\ \Leftrightarrow x=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{\sqrt{4a^{2}}}$

となります。ここで $a\geqq 0$ の場合 $\sqrt{4a^{2}}=2a$ となり、 $a<0$ の場合は $\sqrt{4a^{2}}=-2a$ なので

　 $\displaystyle x=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},a\geqq 0,\\x=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{-2a}=\frac{-b\mp \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},a<0$

となります。

両方とも同じ形なので $a$ の符号にかかわらず

　 $\displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

となります。これが二次方程式の解の公式です。

そこまで難しくないので、自力で２次方程式の解を導けるようにしておきましょう。

解の公式を暗記してもいいのですが、覚えるのは面倒なので、

　 $\displaystyle 3x^{2}-6x+2=0 \\ \Leftrightarrow x^{2}-2x+\frac{2}{3}=0 \\ \Leftrightarrow (x-1)^{2}-1+\frac{2}{3}=0 \\ \Leftrightarrow (x-1)^{2}=\frac{1}{3} \\ \Leftrightarrow x-1=\pm \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \Leftrightarrow x=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3+\sqrt{3}}{3},\frac{3-\sqrt{3}}{3}$

という具合に平方完成させて順に解けるようにしておきましょう。

実は、平方完成は2次関数のグラフをかくときに役立ちます。

では、いくつか問題を解いていきましょう。

以下の方程式を解け。

(1) $x^{2}+5x+1=0$

(2) $3x^{2}+x-1=0$

解の公式を使うと以下のようになります。

(1) $x^{2}+5x+1=0$
$\displaystyle x=\frac{-5\pm\sqrt{25-4\times 1\times 1}}{2\times 1}\\=\frac{-5\pm\sqrt{21}}{2}$

(2) $3x^{2}+x-1=0$
$\displaystyle x=\frac{-1\pm\sqrt{1-4\times 3\times (-1)}}{2\times 3}\\=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{6}$

２次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ の解の公式は $\displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ である。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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