二次方程式の実数解の個数

カテゴリ：方程式

2次方程式の実数解が何個あるかを判定する方法があります。

この判定法に使用するのが判別式です。

ここでは、判別式を使って2次方程式の実数解の個数を調べる方法を紹介します。

実数 $x$ は二乗すると

　 $x^{2}\geq 0$

となります。よって、

　 $x^{2}=-1$

のような左辺が負の方程式の場合だと

　 $0\leq x^{2}=-1$

となるため、実数解はありません。

また、

　 $x^{2}=0$

の場合は、実数解は $x=0$ の一つとなります。

　 $x^{2}=1$

のように、右辺が正の場合は実数解は $x=\pm 1$ と二つになります。

以上のことを一般化すると二次方程式

　 $ax^{2}+bx+c=0,a\neq 0$

は平方完成すると

　 $\displaystyle\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$

となります。右辺の分母は正なので、右辺の分子

　 $D=b^{2}-4ac$

により右辺の符号がきまります。よって

となります。

以下の二次方程式の実数解はいくつですか？

　 $x^{2}+2x+1=0$

$D=4-4=0$ なので、実数解は１つ。

実際に解くと

　 $(x+1)^{2}=0$

なので、 $x=-1$ となります。

たしかに、実数解は１つですね。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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