２次関数

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　１次関数の次に簡単な関数が２次関数です。１次関数よりは複雑ですが、１次関数とは異なる性質を学ぶのに便利です。ここでは２次関数の定義から、グラフのかき方まで解説します。

２次関数とは

では２次関数の定義から説明します。

２次関数

二次関数とは

　f(x)=ax^{2}+bx+c,a\neq 0

の形になる関数のことをいう。

aが0の場合は１次関数になります。

２次関数のグラフ

実際にグラフを見た方が二次関数の性質を理解し易いと思うので以下のプログラムを使ってみてください。

f(x)=x^{2}+x+

色々値を変えてみると、二次関数f(x)=ax^{2}+bx+cの係数a符号が正だと下に山があり、負だと上に山があることがわかります。

２次関数

２次関数

そして、値が大きいほど尖ることがわかります。また、cの値がy軸との交点であることがわかります。

２次関数のグラフのかき方

　２次関数をグラフにかく際に重要となるのは二次関数の頂点がどこであるかという点です。以下、二次関数の頂点を求める方法について解説します。

頂点の座標

まず、f(x)=ax^{2}+bx+cを変形させると

　\displaystyle f(x)=a\left( x+\frac{b}{2a} \right)^{2}-a\left( \frac{b}{2a}\right)^{2}+c\\=a\left( x+\frac{b}{2a} \right)^{2}-\frac{b^{2}}{4a}+c

となることがわかります。２次関数の頂点は山の頂上か、谷の下の部分かなので、

　\displaystyle\left( x+\frac{b}{2a} \right)^{2}=0

となるxなので、

２次関数の頂点

２次関数y=ax^{2}+bx+cの頂点は

頂点：\displaystyle (x,y)=\left(-\frac{b}{2a},c-\frac{b^{2}}{4a}\right)

となる

がえられます。つまり、

　f(x)=a(x-A)^{2}+B

と変形して

　(A,B)

が頂点になります。

以下の２次関数の頂点の座標を求めよ。

　y=x^{2}+4x-1

式を変形すると

　y=x^{2}+4x-1\\=(x+2)^{2}-4-1\\=(x+2)^{2}-5

となります。よって、頂点は(-2,-5)となります。

x軸との交点

また、x軸との交点が方程式ax^{2}+bx+c=0の解となります。よって、

x軸との交点

２次関数y=ax^{2}+bx+cのx軸との交点は

　\displaystyle\left(\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},0\right),\left(\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},0\right)

となる。

という結論が得られます。

以下の２次関数とx軸との交点の座標を求めよ。

　y=x^{2}+2x-3

式を変形すると

　y=x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1)

よって、(-3,0),(1,0)がx軸との交点になります。

  • ２次関数とはy=ax^{2}+bx+cの形の関数である
  • ２次関数y=ax^{2}+bx+cの頂点は\displaystyle\left(-\frac{b}{2a},c-\frac{b^{2}}{4a}\right)
  • ２次関数y=ax^{2}+bx+cとx軸との交点は\displaystyle\left(\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},0\right),\left(\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},0\right)

著者：安井 真人(やすい　まさと)

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