２次関数と１次関数の交点

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２次方程式と１次関数との交点について計算します。

はじめに２次関数とx軸との交点を計算し、続いて２次関数と１次関数との交点を計算します。

２次方程式の解の公式を使うので復習しておいてください。

２次関数とx軸との交点

２次関数とx軸との交点は、

　 $y=ax^{2}+bx+c,\ (a\neq 0)$

　 $y=0$

より、２次方程式の解の公式より求めることで以下の定理が得られます。

２次関数とx軸の交点

　 $y=ax^{2}+bx+c,\ (a\neq 0)$

　 $y=0$

の交点は以下のようになる。

【 $b^{2}-4ac>0$ の場合】

共有点は２つで $\displaystyle \left(\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},0\right),\left(\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},0\right)$

【 $b^{2}-4ac= 0$ の場合】

共有点は１つで $\displaystyle \left(\frac{-b}{2a},0\right)$

【 $b^{2}-4ac<0$ の場合】

共有点はありません。

２次関数と１次関数との交点

続いて、２次関数と１次関数との交点を計算してみましょう。

先程と同様に

　 $y=ax^{2}+bx+c,\ (a\neq 0)$

　 $y=mx+n$

を解いていきます。すると

　 $ax^{2}+bx+c=mx+n\\\Leftrightarrow ax^{2}+(b-m)x+(c-n)$

なのでこれを解くことで以下の公式が導かれます。

２と１次関数の交点

２次関数 $y=ax^{2}+bx+c,\ (a\neq 0)$

１次関数 $y=mx+n$

の交点はいかのとおりになる。

【 $(b-m)^{2}-4a(c-n)>0$ の場合】

共有点は２つで

　 $\displaystyle\left(\frac{-(b-m)+\sqrt{(b-m)^{2}-4a(c-n)}}{2a},m\frac{-(b-m)+\sqrt{(b-m)^{2}-4a(c-n)}}{2a}+n\right),\\\left(\frac{-(b-m)-\sqrt{(b-m)^{2}-4a(c-n)}}{2a},m\frac{-(b-m)-\sqrt{(b-m)^{2}-4a(c-n)}}{2a}+n\right)$

となる。

【 $(b-m)^{2}-4a(c-n)=0$ の場合】

共有点は１つで

　 $\displaystyle\left(\frac{-(b-m)}{2a},-\frac{m(b-m)}{2a}+n\right)$

となる。

【 $(b-m)^{2}-4a(c-n)<0$ の場合】

共有点はなし。

以上のように２つ公式を紹介しましたが、別に覚える必要はありません。

必要に応じて、２次方程式を解けばOKです。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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