三角比の相互関係

カテゴリ：幾何学

　三角比sin,cos,tanについて学んできました。そして、三角比の中でもsinとcosは極座標と直交座標の変換でよく使うので大切だということも紹介しました。ドラマでもそうですが、人物が紹介されたら、次にそららの人物の関係が気になります。今回は、sin,cos,tanという３人の人物?の関係をみていきます。（いわゆる三角関係というやつです）だれとだれが恋人で、だれが片思いかについて考察していきましょう。

三角比の関係

　では、さっそく以下のような直角三角形を考えます。

このとき、三角比は

　 $\displaystyle\sin\theta=\frac{\rm PQ}{\rm OP},\\\cos\theta=\frac{\rm OQ}{\rm OP},\\\tan\theta=\frac{\rm PQ}{\rm OQ}$

でした。注意深くみていくと、これらの三角比にはの関係があるのに気が付きます。

三角比の関係

$\displaystyle\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$
$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$

ここで、注意ですが、

　 $\sin^{2}\theta=\sin\theta\times\sin\theta$

という意味です。

　 $(\sin\theta)^{2}$

と書いてもいいですが、慣習で三角比の二乗は $\sin^{2}\theta$ とかきます。cos,tanも同様です。これらの関係式は $\tan,\cos$ がある式をすべて $\sin$ でかきたい場合などに使用します。また、 $\sin$ から $\cos$ を計算するのにも使用できます。

　他にも以下の様な公式がありますが、あまり使わないし①と②から導けるので覚えなくてもいいと思います。

cosとtanの関係

　 $\displaystyle 1+\tan^{2}\theta=\frac{1}{\cos^{2}\theta}$

では上記の公式１と２を証明します。

【公式1】

定義式にしたがって書き下せばすぐにわかります。

　 $\displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\displaystyle\frac{\rm PQ}{\rm OP}}{\displaystyle\frac{\rm OQ}{\rm OP}}\\=\frac{\rm PQ}{\rm OQ}\\=\tan\theta$

【公式2】

これも定義にしたがってかきくだして、三平方の定理を使います。

　 $\displaystyle\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=\frac{\rm PQ^{2}}{\rm OP^{2}}+\frac{\rm OQ^{2}}{\rm OP^{2}}\\=\frac{\rm PQ^{2}+OQ^{2}}{\rm OP^{2}}\\=\frac{\rm OP^{2}}{\rm OP^{2}}\\=1$