三角形の面積

カテゴリ：幾何学

　三角形の面積は三角比を使うことで、簡単に表現したり計算することが可能です。せっかく三角比を学んだので、三角形の面積を三角比を使用して計算してみましょう。また、ヘロンの公式という、３辺の長さから三角形の面積を計算する公式を紹介します。

三角形の面積

　まず、三角形の面積は

三角形の面積=底辺☓高さ/2

でした。これを使って、以下の三角形の面積を求めます。

　まず底辺をBCとして考えます。よって、底辺は $a$ です。一方、高さは、 $c\sin B$ となるので、面積は

　 $\displaystyle S=\frac{1}{2}ac\sin B$

と計算できます。このことから以下の公式が導かれます。

三角形の面積

における三角形の面積は

　 $\displaystyle S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C$

となる。

では、この公式を使って問題を解いていきましょう。

次の三角形の面積を求めよ。

三角形の面積

三角形の面積は「底辺☓高さ/2」なので、底辺と高さを求めます。よって、

　 $\displaystyle S=\frac{1}{2}\times 4\times 2\sin 60^{\circ}\\=2\sqrt{3}$

となります。

ヘロンの公式

　特に覚える必要もないですが、ヘロンの公式というものが存在します。ヘロンの公式は３辺の長さから三角形の面積を計算する公式です。

ヘロンの公式

$2s=a+b+c$ とすると三角形の面積は

　 $\displaystyle S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

となる。これをヘロンの公式という。

ヘロンの公式を使うと、三角形の各辺 $a,b,c$ から三角形の面積を求めることができる便利な公式です。頭の片隅において、使う機会があればこのページに戻ってきて使用すればいいかと思います。

証明にはまず以下の様な三角形を考えます。

この $h$ がわかれば面積が $\frac{1}{2}ah$ となるので、 $h$ を計算します。

そこで、三平方の定理より

　 $h^{2}=c^{2}-x^{2}$

　 $h^{2}=b^{2}-(a-x)^{2}=b^{2}-a^{2}-x^{2}+2ax$

が得られます。よって

　 $\displaystyle c^{2}-x^{2}=b^{2}-a^{2}-x^{2}+2ax\\\Leftrightarrow c^{2}=b^{2}-a^{2}+2ax\\\Leftrightarrow x=\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2a}$

となります。ゆえに、

　 $\displaystyle h^{2}=c^{2}-\frac{(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}}{4a^{2}}\\=\frac{4a^{2}c^{2}-(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}}{4a^{2}}\\=\frac{(2ac+(c^{2}+a^{2}-b^{2}))(2ac-(c^{2}+a^{2}-b^{2}))}{4a^{2}}\\=\frac{(2ac+c^{2}+a^{2}-b^{2})(2ac-c^{2}-a^{2}+b^{2})}{4a^{2}}\\=\frac{((a+c)^{2}-b^{2})(-(c-a)^{2}+b^{2})}{4a^{2}}\\=\frac{(a+c+b)(a+c-b)(c-a+b)(b-c+a)}{4a^{2}}$

が得られます。よって面積は

　 $\displaystyle S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}h^{2}}\\=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(a+c+b)(a+c-b)(c-a+b)(b-c+a)}{4}}\\=\frac{1}{4}\sqrt{(a+c+b)(a+c-b)(c-a+b)(b-c+a)}$