三角形の外心,垂心

カテゴリ：幾何学

　三角形にはいくつかの種類の中心があります。それらが外心、垂心、内心、重心です。ここでは、これらの中心のうち外心と垂心の定義と性質について解説していきます。

まず、外心から解説します。

外心

三角形 $ABC$ の外心とは、点 $A,B,C$ から等距離にある点である。

$\triangle ABC$ の外心を求めるには、辺 $AB,AC$ の垂直二等分線をかけばOKです。

それらの直線の交点 $O$ が外心になります。この交点 $O$ より点 $A,B,C$ を通る円をかけます。この円を外接円と呼びます。

続いて垂心の解説です。あまり使わないので、軽く定義を読んでもらえればOKです。

垂心

三角形の各頂点から向かい右辺へおろした垂線は一点で交わる。この点を垂心という。

垂線が一点で交わるのは当たり前でないので証明してみましょう。

まず、以下のように $\triangle ABC$ があり、それぞれ垂線をおろしています。

この垂線に直角で点 $A,B,C$ を通る直線をかき、それぞれ交点を $P,Q,R$ とします。

このとき以下の３つのことを証明します。

といっても簡単で、四角形 $ABPC,ABCQ,BCAR$ が平行四辺形であることから成り立ちます。これらの四角形が平行四辺形であることは

「直線 $AB,PA$ と $AC,RP$ と $BC,RQ$ が平行であること」

から得られます。平行であることは錯角が90°になっていることからわかります。

以上のことから、直線 $AD,BE,CF$ は三角形 $PQR$ の垂直二等分線であり、交点は外心となり一点で交わります。ゆえに垂線は一点で交わります。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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