円の中心角,弧,弦

カテゴリ：幾何学

重要な図形の一つに円があります。

ここでは円の基本的な用語である中心角、弧、弦などの定義を解説します。

そして、これらの性質についての解説も行います。

円とは

はじめに円の定義から始めます。

円とは、ある点との距離が等しくなる点の集合である。

このある点のことを円の中心と呼ぶ。

集合で書くと中心が原点で半径 $R$ の円は以下のようになります。

　 $\{(x,y)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}|x^{2}+y^{2}=R^{2}\}$

円の中心角と弧と弦

円の用語として弧と弦があります。定義は以下のようになります。

中心角,弧,弦

ある円があり、円上の2点A,Bがあるとする。このとき、 $\angle AOB$ を中心角という。

また、円上を通って最短な円の断片を弧(こ)といい、弧 $AB$ と表す。

また、線分 $AB$ のことを弦(げん)という。

中心角と弧と弦には以下の定理が成り立ちます。

中心角,弧,弦

等しい中心角に対する弧と弦の長さは等しい
等しい長さの弧に対する中心角と弦は等しい
等しい長さの弦に対する中心角と弧は等しい

以下の様な円と点A,B,C,Dを考えます。

(1)

中心角と半径が同じなので、扇形 $OAB,OCD$ は合同になります。

よって、中心角が同じの同一円上の弧と弦の長さは等しくなります。

(2)

弧と半径が同じなので、扇形は合同になります。

よって、中心角が同じの同一円上の中心角と弦の長さは等しくなります。

(3)

弦と半径が同じなので、三角形 $OAB,OCD$ は合同になります。

よって、 $\angle AOB=\angle COD$ が得られます。

中心角が等しいので、(1)より弧も等しくなります。

円の弦の性質

さらに円と弦には以下の性質があります。

弦の性質

円Oから弦ABに引いた垂線は、弦ABを２等分する
円Oから弦ABの垂直二等分線は円の中心を通る

(1)

円Oから弦ABに垂線を引いたとします。そして、交点をMとします。

すると、

　 $OA=OB$

であり、 $OM$ が共通であるので三平方の定理より

　 $AM^{2}=OA^{2}+OM^{2}=OB^{2}+OM^{2}=BM^{2}$

となります。よって、 $AM=BM$ がなり立ちます。これは弦ABを二等分することを意味します。

(2)

弦ABの中点をMとします。そして、点OとMを結びます。

すると、

$AM=BM$
$OA=OB$

であり、 $OM$ は共通なので、 $\triangle OAM,OBM$ は合同になります。

よって、

　 $\angle OMA=\angle OMB$ ・・・①

が得られます。

さらに、A,B,Mは直線上にあるので

　 $\angle OMA+\angle OMB=180^{\circ}$ ・・・②

となります。①と②より

　 $\angle OMA=\angle OMB=90^{\circ}$

が得られます。これは直線OMは弦ABの垂直二等分線であることを意味します。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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