接線と円の関係

カテゴリ：幾何学

接線と円の関係についていろいろな関係があります。

ここでは、接線と円の関係である接弦定理などについて解説します。

接線の長さ

かなり基本的な性質ですが、以下の様な定理が成り立ちます。

接線の長さ

円の外部の１点からある円へ２本接線を引くと接線の長さは等しい。

以下のように円へ点Pから接線をひき、接点をA,Bとします。

すると直角三角形 $POA,POB$ ができ

　 $PA^{2}\\=OP^{2}-OA^{2}\\=OP^{2}-OB^{2}\\=PB^{2}$

となります。よって、

　 $PA=PB$

が得られます。

接線と弦の作る角

接線とその接線からできる弦が作る円周角の間には接弦定理と呼ばれる関係があります。

この接弦定理は以下のようになっています。

接弦定理

円Oの弦ABとその端点Aの接線ATがあるとする。

このとき、 $\angle TAB$ がつくる円周角 $\angle ACB$ は $\angle TAB$ と等しくなる。

これを接弦定理と呼ぶ。

1. $TAB<90^{\circ}$ の場合

以下のように、円の中心Oを通る三角形 $ABD$ を考えます。

すると同位角の定理より、

　 $\angle ACB=\angle ADB$

となります。また、 $\triangle ADB$ は直角三角形なので

　 $\angle ADB\\=180^{\circ}-90^{\circ}-\angle DAB\\=90^{\circ}-\angle DAB\\=90^{\circ}-(90^{\circ}-\angle BAT)\\=\angle BAT$

が得れれます。

2. $\angle TAB=90^{\circ}$ の場合

下記の図のようになり、半円がつくる円周角は90°なので

　 $\angle TAB=\angle ACB=90^{\circ}$

となります。

3. $TAB>90^{\circ}$ の場合

下図のように、中心Oを通る直線と円との交点をDとします。

円に内接する四角形の対角の和は180°なので

　 $\angle ACB+\angle BDA=180^{\circ}$ ・・・①

となります。また1で証明した接弦定理を使うと

　 $\angle BAT^{\prime}=\angle BDA$ ・・・②

となり、直進の角度は180°なので

　 $180^{\circ}=\angle BAT^{\prime}+\angle BAT$ ・・・③

となります。①、②、③を足せば

　 $\angle ACB=\angle BAT$

が得られます。

4.まとめ

上記の1から3より接弦定理が成り立つことが示されました。

逆に、接弦定理が成り立つ場合、接線かどうかを判定できます。

接弦定理の逆

円Oの弧ABと半直線ATが直線ABと同じ側にあるとする。

そして、弧ABに対する円周角 $\angle ACB$ が $\angle BAT$ に等しいとする。

このとき直線 $AT$ は点Aで円に接する。

円Oと円上の点A,B,Cがあるとします。

そして直線ATがAB側と同じ方向にあります。また、

　 $\angle ACB=\angle BAT$

となっています。

さらに、点Aで接線 $AT^{\prime}$ をひきます。すると、接弦定理より

　 $\angle ACB=\angle BAT^{\prime}$

となり

　 $\angle BAT^{\prime}=\angle BAT$

が得られます。よって、直線 $AT,AT^{\prime}$ は一致します。

ゆえに、直線 $AT$ は円Oに接することになります。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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