接線と円の関係
カテゴリ:幾何学
接線と円の関係についていろいろな関係があります。
ここでは、接線と円の関係である接弦定理などについて解説します。
接線の長さ
かなり基本的な性質ですが、以下の様な定理が成り立ちます。
接線の長さ
円の外部の1点からある円へ2本接線を引くと接線の長さは等しい。
接線と弦の作る角
接線とその接線からできる弦が作る円周角の間には接弦定理と呼ばれる関係があります。
この接弦定理は以下のようになっています。
接弦定理
円Oの弦ABとその端点Aの接線ATがあるとする。
このとき、がつくる円周角
は
と等しくなる。
これを接弦定理と呼ぶ。
1. の場合
以下のように、円の中心Oを通る三角形を考えます。
すると同位角の定理より、
となります。また、は直角三角形なので
が得れれます。
2. の場合
下記の図のようになり、半円がつくる円周角は90°なので
となります。
3. の場合
下図のように、中心Oを通る直線と円との交点をDとします。
円に内接する四角形の対角の和は180°なので
・・・①
となります。また1で証明した接弦定理を使うと
・・・②
となり、直進の角度は180°なので
・・・③
となります。①、②、③を足せば
が得られます。
4.まとめ
上記の1から3より接弦定理が成り立つことが示されました。
逆に、接弦定理が成り立つ場合、接線かどうかを判定できます。
接弦定理の逆
円Oの弧ABと半直線ATが直線ABと同じ側にあるとする。
そして、弧ABに対する円周角が
に等しいとする。
このとき直線は点Aで円に接する。
円Oと円上の点A,B,Cがあるとします。
そして直線ATがAB側と同じ方向にあります。また、
となっています。
さらに、点Aで接線をひきます。すると、接弦定理より
となり
が得られます。よって、直線は一致します。
ゆえに、直線は円Oに接することになります。
著者:安井 真人(やすい まさと)
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