三角形の内心,重心
カテゴリ:幾何学

前回、三角形の外心と垂心について解説しました。ここでは、内心と重心について解説します。重心はよく使うのでしっかり学習しましょう。
三角形の内心
三角形の3つの内角の二等分線は1点で交わる。そして、その点は3つの辺から等距離にある。この点を内心と呼ぶ。
では、上記のことを証明します。
とりあえず、二等分線を点BとCからかいて、交点をOとします。そして、点Oから3辺へ垂線をおろし、交点を以下の図のようにP,Q,Rとします。
1辺とその両端の角が等しいので
となります。よって、
が得られます。さらに、点Oと点Aを結ぶと、を2等分します。なぜなら、
であり
なので三平方の定理より
となり、三辺が等しいためとなるからです。
三角形の重心
では最後に三角形の重心を解説します。重心は物理学でもよく使うので、しっかり覚えておきましょう。
重心
三角形の3つの中線は1点で交わる。そしてその点は各注染を2:1に内分する。この点を重心という。
ではこのことも証明しましょう。
以下のように辺AB,ACの中点をそれぞれR,Qとします。
すると、が相似になり1:2になります(
が等しく、ARとAB,AQとACの比が同じだからです)。よって、
となります。さらに、相似であることから、RQとBCが並行となり、
となり、も1:2の相似になります。よって、
が得られます。
同じ議論を
でやれば、となります。よって、点
は一致します。
中線定理
めったに使わない定理ですが、一応解説します。
中線定理
の辺
の中点を
とすると
が成り立ち、中線定理もしくはパップス(Pappus)の定理という。
では証明していきます。
著者:安井 真人(やすい まさと)
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