三角形の内心,重心

カテゴリ：幾何学

　前回、三角形の外心と垂心について解説しました。ここでは、内心と重心について解説します。重心はよく使うのでしっかり学習しましょう。

三角形の内心

三角形の３つの内角の二等分線は１点で交わる。そして、その点は３つの辺から等距離にある。この点を内心と呼ぶ。

では、上記のことを証明します。

とりあえず、二等分線を点BとCからかいて、交点をOとします。そして、点Oから３辺へ垂線をおろし、交点を以下の図のようにP,Q,Rとします。

１辺とその両端の角が等しいので

$\triangle BOR\equiv\triangle BOP$
$\triangle COP\equiv\triangle COQ$

となります。よって、

　 $OP=OQ=OR$

が得られます。さらに、点Oと点Aを結ぶと、 $\angle A$ を２等分します。なぜなら、

　 $OA=OA,OR=RQ$

であり

　 $\angle ORA=\angle OQA=90^{\circ}$

なので三平方の定理より

　 $RA=QR$

となり、三辺が等しいため $\angle ORA\equiv\angle OQA$ となるからです。

三角形の重心

では最後に三角形の重心を解説します。重心は物理学でもよく使うので、しっかり覚えておきましょう。

重心

三角形の３つの中線は１点で交わる。そしてその点は各注染を２：１に内分する。この点を重心という。

ではこのことも証明しましょう。

以下のように辺AB,ACの中点をそれぞれR,Qとします。

すると、 $\triangle ARQ,\triangle ABC$ が相似になり1:2になります（ $\angle A$ が等しく、ARとAB,AQとACの比が同じだからです）。よって、 $RQ:CB=1:2$ となります。さらに、相似であることから、RQとBCが並行となり、

　 $\angle OCB=\angle ORQ,\angle OBC=\angle OQR$

となり、 $\triangle ORQ,\triangle OCB$ も1:2の相似になります。よって、

　 $CO:OR=BO:OQ=2:1$

が得られます。

　同じ議論を

でやれば、 $BO^{\prime}:O^{\prime}Q=2:1$ となります。よって、点 $O,O^{\prime}$ は一致します。

中線定理

めったに使わない定理ですが、一応解説します。

中線定理

$\triangle ABC$ の辺 $BC$ の中点を $M$ とすると

　 $AB^{2}+AC^{2}=2(AM^{2}+BM^{2})$

が成り立ち、中線定理もしくはパップス(Pappus)の定理という。

では証明していきます。

以下の様な図を考えます。

すると、 $BM=MC$ より

　 $AB^{2}+AC^{2}\\=(BM+MH)^{2}+AH^{2}+(MC-MH)^{2}+AH^{2}\\=2(BM^{2}+MH^{2}+AH^{2})\\=2(AM^{2}+BM^{2})$

が得られます。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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