円周角の定理
カテゴリ:幾何学

円における性質である円周角について解説します。
そして、円周角と中心角の関係である円周角の定理について説明します。
そして、円周角の定理を証明します。
円周角とは
まず円周角の定義について解説します。
ある円上に3点A,B,Cがあったとき、を弧ABの円周角という。
円周角において以下の定理が成り立ちます。
円周角の定理
円周角と中心角に対して以下の定理が成り立ちます。
円周角の定理
円周角の2倍が中心角となる。
1. 中心がの外部にある場合
また、は二等辺三角形なので
となります。よって
・・・①
が得られる。また、
で、は二等辺三角形なので
より
・・・②
となります。①と②より
が得られ、円周角の二倍が中心角となっています。
2.中心が直線PA,PB上にある場合
図から明らかですが、が二等辺三角形なので
となります。
3.中心がの内部にある場合
図を見ればすぐにわかると思いますが、が二等辺三角形なので
が得られます。
4. まとめ
1から3より、円周角の2倍が中心角となります。
円周角と弧の定理
円周角と弧に関して以下の定理が成り立ちます。
円周角と弧
- 等しい円周角の弧の長さは等しい
- 等しい弧の円周角は等しい
(1)
なら、円周角の定理により
となります。
そして、「等しい中心角に対する弧と弦の長さは等しい」という定理より弦ABと弦CDは等しくなります。
(2)
が成り立ちます。また、円周角の定理より
となります。
円の内部・外部の点と角の大小
点の場所によって、中心角となす角の大小が変わります。
それが以下の定理です。
円内部の点と角
円上にがあるとする。このとき
- 点
が円の周上にある場合、
- 点
が円の内部にある場合、
- 点
が円の外部にある場合、
となる。
円周角の定理の逆
最後に円周角の定理の逆について解説します。
円周角の定理の逆
4点A,B,P,QにおいてPとQが直線ABにおいて同じ側にあり、が成り立つならば、4点A,B,P,Qは1つの円周上にある。
の外接円を考え、点Pがこの円周上にないとします。
点が円の内部にあるとすれば、さきほどの定理から、
となり矛盾します。
点が円の外部にあるとすれば、さきほどの定理から、
となり矛盾します。
よって、点Pはの外接円の周上にあることになり、4点A,B,P,Qは1つの円周上にあることになります。
著者:安井 真人(やすい まさと)
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