円周角の定理

カテゴリ：幾何学

円における性質である円周角について解説します。

そして、円周角と中心角の関係である円周角の定理について説明します。

そして、円周角の定理を証明します。

円周角とは

まず円周角の定義について解説します。

ある円上に３点A,B,Cがあったとき、 $\angle ACB$ を弧ABの円周角という。

円周角において以下の定理が成り立ちます。

円周角の定理

円周角と中心角に対して以下の定理が成り立ちます。

円周角の定理

円周角の２倍が中心角となる。

1. 中心が $\angle APB$ の外部にある場合

　 $\angle AOC=\angle APO+\angle OAP$

また、 $\angle OPA$ は二等辺三角形なので

　 $\angle APO=\angle OAP$

となります。よって

　 $\angle AOC=2\angle APO$ ・・・①

が得られる。また、

　 $\angle BOC=\angle OPB+\angle OBP$

で、 $\triangle OPB$ は二等辺三角形なので

　 $\angle OPB=\angle OBP$

より

　 $\angle BOC=2\angle OPB$ ・・・②

となります。①と②より

　 $\angle AOC-\angle BOC=2(\angle APO-\angle OPB)\\\Leftrightarrow \angle AOB=\angle APB$

が得られ、円周角の二倍が中心角となっています。

2.中心が直線PA,PB上にある場合

図から明らかですが、 $\triangle OAP$ が二等辺三角形なので

　 $\angle AOB=\angle OAP+\angle OPA\\=2\angle OPA$

となります。

3.中心が $\angle APB$ の内部にある場合

図を見ればすぐにわかると思いますが、 $\triangle AOP,BOP$ が二等辺三角形なので

　 $\angle AOB=\angle AOC+\angle BOC\\=\angle OAP+\angle OPA+\angle OBP+\angle OPB\\=2(\angle APO+\angle BPO)\\=2\angle APB$

が得られます。

4. まとめ

1から3より、円周角の２倍が中心角となります。

円周角と弧の定理

円周角と弧に関して以下の定理が成り立ちます。

円周角と弧

等しい円周角の弧の長さは等しい
等しい弧の円周角は等しい

(1)

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$\angle APB=\angle CQD$ なら、円周角の定理により $\angle AOB=\angle COD$ となります。

そして、「等しい中心角に対する弧と弦の長さは等しい」という定理より弦ABと弦CDは等しくなります。

(2)

「円周角の弧の長さが等しいと中心角が等しい」ので、

　 $\angle AOB=\angle COD$

が成り立ちます。また、円周角の定理より

　 $\displaystyle\angle APB=\frac{\angle AOB}{2}=\frac{\angle COD}{2}=\angle COD$

となります。

円の内部・外部の点と角の大小

点の場所によって、中心角となす角の大小が変わります。

それが以下の定理です。

円内部の点と角

円上に $A,B,Q$ があるとする。このとき

点 $P$ が円の周上にある場合、 $\angle APB=\angle AQB$
点 $P$ が円の内部にある場合、 $\angle APB>\angle AQB$
点 $P$ が円の外部にある場合、 $\angle APB<\angle AQB$

となる。

1については円周角の定理から明らかです。

2については

より、

　 $\angle APB\\=\angle PBP^{\prime}+\angle AP^{\prime}B\\>\angle AP^{\prime}B=\angle AQB$

となります。

3については、

より

　 $\angle APC=\angle AP^{\prime}C-\angle PAP^{\prime}$

　 $\angle CPB=\angle CP^{\prime}B-\angle PBP^{\prime}$

となります。よって

　 $\angle APB=\angle APC+\angle CPB\\=\angle AP^{\prime}B-(\angle PAP^{\prime}+\angle PBP^{\prime})\\<\angle AP^{\prime}B=\angle AQB$

となります。

円周角の定理の逆

最後に円周角の定理の逆について解説します。

円周角の定理の逆

4点A,B,P,QにおいてPとQが直線ABにおいて同じ側にあり、 $\angle APB=\angle AQB$ が成り立つならば、４点A,B,P,Qは１つの円周上にある。

$\angle QAB$ の外接円を考え、点Pがこの円周上にないとします。

点 $P$ が円の内部にあるとすれば、さきほどの定理から、 $\angle APB>\angle AQB$ となり矛盾します。

点 $P$ が円の外部にあるとすれば、さきほどの定理から、 $\angle APB<\angle AQB$ となり矛盾します。

よって、点Pは $\angle QAB$ の外接円の周上にあることになり、４点A,B,P,Qは１つの円周上にあることになります。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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