外積の計算

カテゴリ：行列

　ベクトルで内積という掛け算について学びました。内積があるなら外積はあるのか！？と疑問を持たれた方も多いと思います。実はその直感は正しくて外積という計算が存在します。外積は物理でもよく使われています。「右ねじの法則」ということばを聞いたことがあると思いますが、そこに外積が関係します。ここでは外積の計算方法を説明します。

外積の計算方法

いまベクトル\vec{a},\vec{b}が

　\displaystyle \vec{a}=\left(\begin{array}{c}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{array}\right),

　\displaystyle \vec{b}=\left(\begin{array}{c}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{array}\right)

となっているとします。このときの\vec{a},\vec{b}の外積は行列式を使って

　\displaystyle \vec{a}\times\vec{b}=\left| \begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{array}\right|・・・(1)

とかけます。ここで

　\displaystyle \vec{i}=\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right),\vec{j}=\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right),\vec{k}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)

です。よって、式(1)は

　\displaystyle \vec{a}\times\vec{b}=\left| \begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{array}\right|\\=\vec{i}\left|\begin{array}{cc}a_{y}&a_{z}\\b_{y}&b_{z}\end{array}\right|-\vec{j}\left|\begin{array}{cc}a_{x}&a_{z}\\b_{x}&b_{z}\end{array}\right|+\vec{k}\left|\begin{array}{cc}a_{x}&a_{y}\\b_{x}&b_{y}\end{array}\right|\\=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})\vec{i}-(a_{x}b_{z}-a_{z}b_{x})\vec{j}+(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})\vec{k}\\=\left(\begin{array}{c}a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y}\\a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z}\\a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}\end{array}\right)

と計算されます。行列式の計算がわからない方は「行列式の記事」を参考にしてください。

 

とにかく外積を計算できるようにしておくことは物理にとって重要なのでしっかり練習しておいてください。

　\displaystyle \vec{a}=\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right),\vec{b}=\left(\begin{array}{c}1\\0\\-1\end{array}\right)

の外積は？

　\displaystyle \vec{a}\times\vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&2&3\\1&0&-1\end{array}\right|\\=\vec{i}\left|\begin{array}{cc}2&3\\0&-1\end{array}\right|-\vec{j}\left|\begin{array}{cc}1&3\\1&-1\end{array}\right|+\vec{k}\left|\begin{array}{cc}1&2\\1&0\end{array}\right|\\=(2\times(-1)-3\times0)\vec{i}-(1\times(-1)-3\times1)\vec{j}+(1\times0-2\times1)\vec{k}\\=\left(\begin{array}{c}-2\\4\\-2\end{array}\right)

著者：安井 真人(やすい　まさと)

行列