行列式

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　ベクトルにも大きさがあったように行列にも大きさを導入できます。それが行列式と呼ばれるものです。ここでは２行２列の行列と３行３列の行列の大きさを示す行列式を紹介します。

２行２列の行列式

まず、２行２列の行列式を次のように定義します。

　\displaystyle |A|=\left| \begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right|\\=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}

例を挙げると

　\displaystyle \left| \begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right|\\=1\times 4-2\times 3\\=4-6\\=-2

となります。行列式は必ずしも正とならないことに注意しておきます。

３行３列の行列式

次に3×3の行列の行列式を

　\displaystyle |A|=\left| \begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right|\\=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}

と定義します。次のようにたすきがけして覚えるといいと思います。

【プラス側】

行列式の計算1

 【マイナス側】

行列式の計算2

試しに以下の行列式を計算します。すると

　\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right|\\=1\times5\times9+2\times6\times7+3\times4\times8-1\times6\times8-2\times4\times9-3\times5\times7\\=45+84+96-48-72-105\\=0

となります。

３行３列の行列式を２行２列の行列式に展開

　３行３列の行列式を２行２列の行列式にして計算する方法を紹介します。この方法には以下の公式を使用します。

　\displaystyle \left| \begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right|\\=a_{11}\left|\begin{array}{cc}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{cc}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{cc}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{array}\right|

まず、a_{11}で展開します。この際、１行目と１列目を取り除いた２行２列の行列式をかけます。次に、-a_{12}で展開し、１行目と２列目を取り除いた２行２列の行列式をかけます。最後に、a_{13}で展開して１行目と３列目を取り除いた２行２列の行列式でかけます。

 

　外積の計算でよく使うのでこの展開方法をしっかりおさえておきましょう。

著者：安井 真人(やすい　まさと)

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