順列

カテゴリ：場合の数と確率

場合の数にはいくつかよくあるパターンがあります。

その一つが順列です。

順列とは、ある異なるものの中からいくつか選んで並べる操作のことです。

ここでは、この順列を行った場合の総数の計算方法と応用例を紹介します。

順列とは

はじめに順列とはどのようなものかを紹介します。

異なる $n$ 個の中から $r$ 個を取り出して一列に並べることを順列といい総数は

　 $\displaystyle _{n}P_{r}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!}$

となる。特に

　 $_{n}P_{n}=n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1$

と記述する。ただし、 $0!=1,_{n}P_{0}=1$ とする。

例えば、３個のアルファベット $a,b,c$ から２つ取り出し並べるという順列を考えましょう。

すべて樹形図で書きだすと

の６通りになります。この樹形図からわかると思いますが、

$a,b,c$ から３つ選ぶので３通り
３個から１つ抜いた2個から選ぶので２通り

と積の法則より

　 $3\times 2=6$ 通り

になります。

上記のように一個づつ抜いて並べるので、

「 $n$ 個から $r$ 個を順に並べた際の場合の数は

　 $n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)=_{n}P_{r}$

となります。」

今回の場合は

　 $_{3}P_{2}=3\times 2=6$

となります。

$a,b,c,d$ の４つを並べた際、何通りの並べ方があるか。また、15番目の文字列はなにか。

まず、この場合４つ選んで４つ並べるので

　 $_{4}P_{4}=4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$ 通り

となります。次に15番目の文字列は

$a$ ◯◯◯： $3!=3\cdot 2\cdot 1=6$ 通り
$b$ ◯◯◯： $3!=3\cdot 2\cdot 1=6$ 通り
$c$ ◯◯◯： $3!=3\cdot 2\cdot 1=6$ 通り
$d$ ◯◯◯： $3!=3\cdot 2\cdot 1=6$ 通り

となります。よって、

1番目： $abcd$

7番目： $bacd$

13番目： $cabd$

19番目： $dabc$

となります。よって、15番目はの頭文字はcだとわかります。あとは書き出して

13番目： $cabd$

14番目： $cadb$

15番目： $cbad$

なので、 $cbad$ が答えです。

異なるものからいくつか並べることを順列という。
nこからrこ選んで並べる順列は_nP_r通り

著者：安井真人(やすい　まさと)
@yasui_masatoさんをフォロー

前の記事場合の数と確率次の記事