確率の性質

カテゴリ：場合の数と確率

確率にはいくつか性質があります。

これらの性質を理解することで、確率の計算に役立てることができます。

ここでは、確率の性質について解説します。

基本性質

まず、確率の基本的な性質を紹介します。

確率の性質

全事象 $U$ で、任意の事象Aの確率 $P(A)$ において

$0\leq P(A)\leq 1$
$P(U)=1,P(\phi)=0$

が成り立つ。ここで、 $\phi$ は空集合である。

かなり当たり前のことを述べています。

全事象の場合の数よりもある事象Aの場合の数が大きくならないので、

　 $\displaystyle n(A)\leq n(U)\Leftrightarrow P(A)=\frac{n(A)}{n(U)}\leq 1$

となります。また、場合の数は０以上の整数なので

　 $\displaystyle 0\leq n(A)\Leftrightarrow 0\leq \frac{n(A)}{n(U)}=P(A)$

となり、項目１が成り立ちます。

項目２については、

　 $\displaystyle P(U)=\frac{n(U)}{n(U)}=1,\\P(\phi)=\frac{n(\phi)}{n(U)}=\frac{0}{n(U)}=0$

から成り立つのがわかります。

加法定理

２つの事象に対して、和の法則を用いることで以下の法則が導かれます。

加法定理

事象A,Bが同時に起こらない場合( $A\cap B=\phi$ )、

　 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

が成り立ち、加法定理と呼ぶ。

この定理は和の法則より

　 $\displaystyle P(A\cup B)\\=\frac{n(A\cup B)}{n(U)}\\=\frac{n(A)+n(B)}{n(U)}\\=\frac{n(A)}{n(U)}+\frac{n(B)}{n(U)}\\=P(A)+P(B)$

と導かれます。

もし同時に起こりうる場合は以下のようになります。

加法定理の拡張

　 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

このことは

　 $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$

より

　 $\displaystyle P(A\cup B)=\frac{n(A\cup B)}{n(U)}\\=\frac{n(A)+n(B)-n(A\cap B)}{n(U)}\\=\frac{n(A)}{n(U)}+\frac{n(B)}{n(U)}-\frac{n(A\cap B)}{n(U)}\\=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

と導かれます。重なりのダブルカウントをひくことでキャンセルしています。

以下のベン図を見れば理解できるかと思います。

余事象

最後に余事象について解説します。

余事象

事象Aに対して、Aが起こらない事象を余事象といい、 $\bar{A}$ とかき

　 $P(\bar{A})=1-P(A)$

となる。

これはベン図を見ればすぐわかると思います。

まず、

　 $n(U)=n(A)+n(\bar{A})$

なので、

　 $\displaystyle 1=\frac{n(A)}{n(U)}+\frac{n(\bar{A}}{n(U)}\\\Leftrightarrow 1=P(A)+P(\bar{A})\\\Leftrightarrow P(\bar{A})=1-P(A)$

となります。

「◯◯◯が起こるか、起こらないかのどちらかだ」

というのは必ず当たるので、口癖にしましょう。

周りから信頼されるようになることでしょう。

確率は0から1の値をとる(120%の確率はない)
同時に起こらない事象の確率は足せばいい
余事象は信頼を得るのに使える

著者：安井真人(やすい　まさと)
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