独立な試行

カテゴリ：場合の数と確率

サイコロを３回投げるといった、複数の試行を行うことを独立な試行といいます。

独立な試行の場合、積の法則より確率を簡単に計算をすることができます。

ここでは、独立な試行における確率の計算方法を紹介します。

独立な試行の確率

では、独立な試行の確率について説明します。

独立な試行の確率

２つの独立な試行があり、それぞれの試行において事象A,Bがあるとする。

このとき、これらの事象が同時に起こる確率Pは

　P=P(A)P(B)

となる。

事象A,Bが同時に起こる場合の数は積の法則より

　n(A)n(B)

となります。一方、すべての事象は

　n(U)n(U)

通りになります。ここでUは一回の試行における全事象です。

よって、

　\displaystyle P=\frac{n(A)n(B)}{n(U)n(U)}=P(A)P(B)

となります。

サイコロを10回投げたとき、3回１の目がでる確率を求めよ。

例えば、

1,1,1,他,他,他,他,他,他,他

が起こる確率は

　\displaystyle\left(\frac{1}{6}\right)^{3}\left(\frac{5}{6}\right)^{7}

となります。このように１が三回でる場合は

　 _{10}C_{3}通り

あります。よって、

　\displaystyle _{10}C_{3}\left(\frac{1}{6}\right)^{3}\left(\frac{5}{6}\right)^{7}\\=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}\frac{5^{7}}{6^{10}}\\=\frac{390625}{2519424}\\\approx 0.155

が答えになります。

上記の問題のように、１が出る場合と出ない場合の試行を複数回行う操作は確率の基本です。

1が出る確率をpとして、試行の回数をnとすれば、1がk回出る確率は

　 _{n}C_{k}p^{k}(1-p)^{n-k}

となります。この分布は二項分布と呼ばれるものです。

二項分布は正規分布やポアソン分布と呼ばれる主要分布のもととなり、とても大切な分布です。

著者：安井 真人(やすい　まさと)

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