いろいろな数列の和
カテゴリ:数列

これまで、等差数列や等比数列など様々な数列の和を計算してきました。ここでは、それら以外の特殊な数列の和を計算します。ここでは問題を通して計算方法を解説していきます。
次の和を計算せよ。
この問題をとくには、
を利用します。すると
前後で打ち消し合って、頭とおしりだけが残るのがポイントです。
次の和を計算せよ。ただしとする。
よくわからないけど、のときは
と等差数列です。ですから、
と並べて足せばいいかもしれないと予想がつきます。ただ、足しあわせても
と
と項が異なるのでだめだとわかります。
うまくいかなかったので、次に、
なら等比数列となることからアプローチします。を等比数列にするために
を利用します。両者を引けば
となります。真ん中がうまいこと等比数列となりました。
を計算すると(をつかって)
となります(等比数列の公式を覚えるのではなく、このように導けるようにしましょう)。これより、
となります。
【正しいかチェックする】
導いた答えを見ると少し複雑なので不安になるかと思います。
①の場合
ということで、を代入してみます。
であり、
なので一安心です。
②の場合
念のためとして計算すると
【が奇数の場合】
で、等差数列の和を
より、
となります(ここで、項数は(末項+3)/4であることを使いました。このことは1+5の場合や1+5+9の場合から正しいだろうと予想できますね)。
同様にして
は
となります。よって、
となります。のときは、
で、
のときは
であってそうです。そして、
なので確かに導いた答え
でよさそうです。
答えの見直しをするときは、具体的な数字をいくつか代入するのが効果的です。
著者:安井 真人(やすい まさと)
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