いろいろな数列の和

カテゴリ：数列

　これまで、等差数列や等比数列など様々な数列の和を計算してきました。ここでは、それら以外の特殊な数列の和を計算します。ここでは問題を通して計算方法を解説していきます。

次の和を計算せよ。

　 $\displaystyle\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}$

この問題をとくには、

　 $\displaystyle\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

を利用します。すると

　 $\displaystyle\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}\\=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\=1-\frac{1}{n+1}\\=\frac{n}{n+1}$

前後で打ち消し合って、頭とおしりだけが残るのがポイントです。

次の和を計算せよ。ただし $x\neq 1$ とする。

　 $S=1+3x+5x^{2}+7x^{3}+\cdots+(2n-1)x^{n-1}$

よくわからないけど、 $x=1$ のときは

　 $S=1+3+5+\cdots+(2n-1)$

と等差数列です。ですから、

　 $S=1+3x+5x^{2}+7x^{3}+\cdots+(2n-1)x^{n-1}\\S=(2n-1)x^{n-1}+(2n-3)x^{n-2}+(2n-5)x^{n-3}+\cdots+1$

と並べて足せばいいかもしれないと予想がつきます。ただ、足しあわせても

$1$ と $(2n-1)x^{n-1}$

と項が異なるのでだめだとわかります。

　うまくいかなかったので、次に、

　 $1+x+x^{2}+\cdots$

なら等比数列となることからアプローチします。 $S$ を等比数列にするために

　 $S=1+3x+5x^{2}+7x^{3}+\cdots\\xS=x+3x^{2}+5x^{3}+\cdots$

を利用します。両者を引けば

　 $(1-x)S=1+2x+2x^{2}+\cdots+2x^{n-1}-(2n-1)x^{n}\\=1+2x(1+x+x^{2}+\cdots+x^{n-2})-(2n-1)x^{n}$

となります。真ん中がうまいこと等比数列となりました。

　 $S_{1}=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n-2}$

を計算すると( $x\neq 1$ をつかって)

　 $\displaystyle (S_{1}-xS_{1})=1-x^{n-1}\\\Leftrightarrow S_{1}=\frac{1-x^{n-1}}{1-x}$

となります(等比数列の公式を覚えるのではなく、このように導けるようにしましょう)。これより、

　 $\displaystyle(1-x)S=1+2x\frac{1-x^{n-1}}{1-x}-(2n-1)x^{n}\\=\frac{1-x}{1-x}+\frac{2x-2x^{n}}{1-x}-\frac{(2n-1)x^{n}-(2n-1)x^{n+1}}{1-x}\\=\frac{1+x-(2n+1)x^{n}+(2n-1)x^{n+1}}{1-x}\\\Leftrightarrow S=\frac{1+x-(2n+1)x^{n}+(2n-1)x^{n+1}}{(1-x)^{2}}$