部分集合

カテゴリ：集合と論理

前回、集合と集合の記述方法についておはなししました。

今回はある集合のなかの集合である部分集合について解説します。

そして、集合が等しいことの定義についても解説します。

部分集合とは

学校の生徒という集合があるとします。

そして、この集合にはさらに、男子と女子という集合があります。

このように集合の中に、集合があるというケースは多くあります。

このような集合を部分集合といい以下のように定義します。

部分集合

集合 $A,B$ があり

　 $b\in B \Rightarrow b\in A$

がすべての $B$ の要素に対して成り立つとき、 $B$ を $A$ の部分集合といい

　 $B\subset A$

とかく。

いま集合が

　 $A=\{1,2,3,4,5\},B=\{1,2\}$

の二つあるとします。集合 $B$ の要素はすべて $A$ の要素になっています。

よって、 $B\subset A$ となります。

部分集合

記号「 $\subset$ 」をどちらの向きにかけばいいか覚えにくいかと思います。

そのような場合は「<」を思い浮かべてください。

「開いている方の集合が大きい」と連想するのです。

そうすれば、「 $\subset$ 」をどちらの向きにすればいいかすぐにわかりますよ。

集合が等しいとは

では続いて２つの集合が等しいことの定義をします。

基本的には簡単で要素がすべて同じなら集合は等しいといえます。

ただ、その定義を部分集合により、以下のように定義します。

等しい集合

集合 $A,B$ に対して

　 $B\subset A,A\subset B$

が同時に成り立つ場合、集合 $A,B$ は等しいといい

　 $A=B$

と記す。成り立たない場合は、集合 $A,B$ は等しくないといい

　 $A\neq B$

と表す。

上記の定義の仕方は、数でいう以下の定理

「 $A\leq B,A\geq B\Rightarrow A=B$ 」

と同じ考え方です。

以下の集合が等しくないことを証明せよ

　 $A=\{1,2,3,4,5\},B=\{1,2,3\}$

この場合、

　 $B\subset A$

は成り立ちます。なぜなら、すべての $B$ の要素に対し

　 $1\in A,\\2\in A,\\3 \in A$

だからです。

一方、

　 $A\subset B$

は成り立ちません。なぜなら、 $B$ は $A$ の要素4,5を含まないからです。

よって、

　 $A\neq B$

となります。

集合 $A,B$ に対して、

部分集合：「 $b\in B\Rightarrow b\in A$ 」 $\Leftrightarrow B\subset A$
等しい：「 $B\subset A,A\subset B$ 」 $\Leftrightarrow A=B$

となる。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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