補集合

自然数や実数のように大きな集合 $U$ を決めてから、 $U$ の要素や部分集合を考えることがよくあります。

すると、部分集合以外の集合である補集合という概念がうまれます。

ここでは、補集合について解説し、補集合における公式をいくつか紹介します。

いま、全体集合 $U$ の部分集合 $A$ を考えます。

部分集合 $A$ 以外の $U$ の集合を $A$ の補集合(ほしゅうごう)といい

　 $\bar{A}=\{x|x\in U,x\notin A\}$

と頭にバーを付けて書きます。

全体集合 $U$ の補集合は空集合 $\emptyset$ となり、空集合の補集合は全体集合になります。すなわち

　 $\bar{U}=\emptyset,\bar{\emptyset}=U$

となります。

また、 $A$ と $\bar{A}$ の重なる要素はないので

　 $A\cap \bar{A}=\emptyset$

となります。

また、 $\bar{A}$ は $A$ 以外の $U$ の集合なので、 $A$ と $\bar{A}$ の要素を足せば $U$ となるはずです。よって

　 $A\cup \bar{A}=U$

が成り立ちます。

そして、 $\bar{\bar{A}}$ は補集合 $\bar{A}$ 以外の集合なので集合 $A$ と等しくなります。つまり

　 $\bar{\bar{A}}=A$

が成り立ちます。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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