ド・モルガンの法則

カテゴリ：集合と論理

補集合、共通部分、和集合にはド・モルガンの法則という関係が存在します。

ここではド・モルガンの法則についての解説と証明を行います。

 

 さっそくですが、ド・モルガンの法則とはどのような法則なのかをはじめに述べます。

次の法則をド・モルガンの法則といいます。

　\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B},\\\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}

要するに、ド・モルガンの法則とは、バーをきる場合は\cap \Leftrightarrow \cupの変換をするという法則です。

解説

ド・モルガンの法則は以下の図を見れば理解できると思います。

まず、\bar{A}\cap \bar{B}は図で

集合Aの補集合集合Bの補集合Aの補集合とBの補集合の共通部分

のように書くことができます。一方、\overline{A\cup B}は

AもしくはBの補集合

 

 

 

 

と書くことができます。

このことから\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B}が成り立つことが理解できたと思います。

 

もう片方も同様にして\bar{A}\cup \bar{B}を書くと

集合Aの補集合　集合Bの補集合　Aの補集合とBの補集合の和集合

であり、\overline{A\cap B}は

AかつBの補集合

なので\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}が成り立つことがわかります。

著者：安井 真人(やすい　まさと)

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